概率的啓示：雅各布·伯努利與大數定律
他出生於瑞士的巴塞爾，在他的家族中，有五六位成員曾在數學和概率論領域中做出過重要貢獻，雅各布是其中最負盛名的。他的貢獻中，最重要的、對後世起了最大影響的，就是“頻率接近比率”這個論斷的數學證明。
學過平面幾何的讀者知道，在數學上對論證的要求很嚴格。爲證明一個幾何定理，例如三角形的三條高相交於一點，要經過多步推導，每一步都要有嚴格的依據，一絲不苟。“大體上”“左右”“大約”這些含糊的字眼多次出現，這夠不上數學論證的標準。
在歷史上，第一個企圖對“當試驗次數 n 愈來愈大時，頻率m/n 會愈來愈接近比率 p=ω/ (ω+b)”這個論斷給予嚴格的意義和數學證明的，是早期概率論歷史上最重要的學者雅各布·伯努利（1654—1705）。他出生於瑞士的巴塞爾，在他的家族中，有五六位成員曾在數學和概率論領域中做出過重要貢獻，雅各布是其中最負盛名的。他的貢獻中，最重要的、對後世起了最大影響的，就是“頻率接近比率”這個論斷的數學證明。說來有趣的是，他之所以研究這個問題，並非因爲他對這個論斷之真僞存在疑問。如他自己在著作中所說，甚至那些最愚笨的人，出於其自然的天性而無須他人指點，也會相信這一點。因爲這個論斷得到如此廣泛的公認，它理應有其理論上的根據所在，他的目標就是找出這個根據。
除了這個問題以外，伯努利還對現代高等數學的基礎——微積分的發展起了重要的作用。他生活的那段時期正值牛頓和萊布尼茨發明了微積分。伯努利與萊布尼茨有着良好的個人關係，他通過與萊布尼茨的通信，與後者探討微積分研究中的問題。有的學者認爲，他當時對這個重要領域的貢獻，是牛、萊以下的第一人。
在現代，學者們進行學術交流的方式很多。交通和通信的進步，使個人接觸和會議交流變得很方便，還有衆多的期刊與專業著作等。在伯努利時代則不同，當時學術交流的主要手段，是學者之間的個人通信。就伯努利而言，他在概率論方面的研究，得益於與惠更斯的聯繫。惠更斯（1629—1695）是歐洲當時最著名的概率論學者，他在 1657 年出版的著作《機遇的規律》，是卡爾達諾《機遇博弈》之後最有影響力的概率論著作，曾在長達 50 年的時間內成爲這門學科的標準教科書。伯努利與惠更斯長期保持通信聯繫，他仔細研究過惠更斯的上述著作，併爲這本書寫了詳細的註解，這些都寫進了他的成名作《推測術》中。
《推測術》在概率史上的評價很高。有的學者認爲，它的問世標誌着概率論脫離其萌芽狀態而走向嚴格數學化發展方向的開端。伯努利寫這本著作是在他生命的最後兩年（他死於 1705 年），在他去世時書尚未完全定稿。遺留的工作由他的侄兒、概率論學家尼科拉斯·伯努利完成，後又經過一番周折，這部著作才得於 1713 年出版。
該書分 4 個部分。前 3 部分是到那時爲止有關古典概率計算所積累的一些成果的總結和提高。重要的是第 4 部分，在其中他用嚴格的數學方法證明了前面提及的那個結論：當 n 愈來愈大時，白球出現的頻率 m/n 愈來愈接近白球在盒中的比率 ω/ (ω+b )。
這個結論現在通稱爲“大數定律”。在概率論上還有許多類似的結果也稱作大數定律，爲加以分別，特別稱呼它爲“伯努利大數定律”。
伯努利大數定律的重大意義，在於它揭示了因偶然性的作用而呈現的雜亂無章現象中的一種規律性，或簡單地講，在紛亂中找到了一種秩序。如果你每天在盒中抽一個球並記下其結果（再放回去），當抽到白球時記以 1 而抽到黑球時記以 0，則你得到的是一串雜亂的數字，例如，
1100010011110110000010110…
外表上看不出有何特徵或規律性。如果有另一個人把你剛纔所做的重做一遍，他也得出這樣一串由 0 和 1 構成的數字，同樣雜亂無章，但與你那一串並不相同。伯努利大數定律告訴我們，這表面的紛亂之下其實存在着一種規律性，即在這數串中，1 所佔的比率愈來愈穩定到一個值上面，此值即盒中白球的比率。在開始的一段中，比率的變化可以是很大的，這個穩定性要到數串的長度足夠“大”時才顯示出來，這正是大數定律這個名稱的由來。
跳出這個盒子模型，對大數定律的意義做一種更寬廣的解釋，可以不誇張地說，它反映了我們的世界的一個基本規律：在一個包含衆多個體的大羣體中，由於偶然性而產生的個體差異，着眼在一個個的個體上看，是雜亂無章、毫無規律、難於預測的；但由於大數定律的作用，整個羣體卻能呈現某種穩定的形態。
例如一個封閉容器中的氣體，它包含大量的分子，它們各自在每時每刻的位置、速度和方向上，都以一種偶然的方式在變化着，但容器中的氣體仍能保有一個穩定的壓力和溫度。電流是由電子運動形成的，每個電子的行爲雜亂而不可預測，但整體看呈現穩定的電流強度。在社會、經濟領域中，羣體中個體的狀況千差萬別，且變化不定，但一些反映羣體狀況的平均指標，在一定時期內能保持穩定，或呈現規律性的變化。究其根源，都是由於大數定律的作用。
上文轉自圖靈新知，節選自《機會的數學》，[遇見]已獲轉發許可。
作者：陳希孺