量子引力中的黑洞信息問題

引力是自然界中的四大基本力之一，也是人類迄今爲止最早於自然界中發現的一種基本力。自從 1915 年愛因斯坦（Einstein）開創性地提出廣義相對論以來， 人們對引力有了革新的認識：時空的彎曲源於物質場的存在，引力是時空彎曲的一種幾何效應。與此同時，一門描述微觀粒子運動規律的理論—量子力學開始誕生。從最初用來描述單粒子體系的量子力學發展成用來描述多粒子系統的近代量子場論，都不斷加深人們對於電磁力、強和弱相互作用力的本質認識。量子場論可以解釋電磁力、強和弱相互作用力這三種規範相互作用的本質，它是由參與相互作用的粒子間通過交換虛的規範玻色子而產生。量子場論可以實現除引力之外的其它三種基本相互作用力的量子化，目前實驗檢測上也證實了量子場論在粒子物理領域的可靠性。然而當我們從量子場論的角度將引力量子化時，由於引力的耦合常數是有量綱的，這時會出現一個紫外完備性問題，我們無法得到一個可重整化的量子引力理論。廣義相對論和量子場論是二十世紀物理學的兩大基石，然而至今爲止沒有一個很好將引力量子化的公認解決方案。

圖 1：2020 年諾貝爾物理學獎：黑洞的形成是廣義相對論的預測

愛因斯坦提出廣義相對論引力場方程的次年，Schwarzschild 在靜態球對稱真空的限制條件下找到了滿足該非線性場方程的唯一一個嚴格解—Schwarzschild 解[1]。該解把時空分爲兩個區域，在 Schwarzschild 半徑以內的時空區域稱之爲黑洞。黑洞是經典廣義相對論下的必然推論，目前已有很多天文觀測數據都間接證明黑洞的存在（2019 年，事件視界望遠鏡收集並間接拍下了位於 M87 星雲中央的一個大質量黑洞照片; 2020 年，Penrose、Genzel 和 Ghez 等三人因黑洞形成的證明以及銀河系中心發現超大質量和密度的天體方面而獲諾貝爾物理學獎）。後續人們的研究中發現黑洞附近存在一些量子效應，因而黑洞是研究量子引力的一扇窗口。

圖 2：黑洞視界附近的量子效應：霍金輻射

上世紀 60 年代，貝肯斯坦（Bekenstein）等人提出黑洞無毛定理猜想。它表明的是黑洞可以完全地被三個經典可觀測量描述：質量、電荷和角動量。對於視界外的觀者看來，墜入黑洞內物質的其它信息最後會消失在視界之外。在 1971 年，霍金（Hawking）在“強能量條件”和“宇宙監督假設”的前提條件下證明了經典黑洞所滿足的面積定理[2]，即在時間演化下黑洞的視界面積不會減小。次年，貝肯斯坦（Bekenstein）基於霍金（Hawking）證明的黑洞面積定理基礎上， 猜測黑洞具有正比於其視界面積的熵[3,4]。1975 年，霍金首次將彎曲時空量子場論用在黑洞背景，發現黑洞會發出僅具有溫度唯一特徵的熱輻射—霍金輻射，即黑洞蒸發的量子效應[5]。同年，霍金計算並給出了正比於其視界面積的黑洞熵公式，黑洞熱力學熵也稱之爲 Bekenstein-Hawking 熵。霍金輻射和黑洞熱力熵的發現進一步促進了後續量子引力理論的研究，黑洞熱力學熵正比於其視界面積也暗示了量子引力具有高度非局域的性質，爲後續全息引力的提出做出非凡的鋪墊。上世紀九十年代，t' Hooft 與 Susskind 兩人正式提出量子引力的全息原理[6,7]，它指的是高一維時空中固定區域內的（D+1）維量子引力等價於其邊界上的 D 維量子規範場。1997 年，Maldacena 發現十維時空 上的 Type II B 弦理論 對偶於四維 N = 4 d=4的超對稱 Yang-Mills 規範理論，首次在弦理論中實現了全息對偶，並提出 AdS/CFT 猜想[8]。在此基礎上，之後 Gubser 和 Witten 等人給出了 AdS 與 CFT 的配分函數等同的 Gubser-Klebanov-Polyakov-Witten（GKP-W） 全息字典[9,10]，爲後續研究也提供了重要的計算方法和檢驗手段。AdS/CFT 的提出，表明我們可以通過（D+1）維 AdS 時空漸近邊界處的 D 維共形場論去理解該時空內部的量子引力理論，某種程度上解決了廣義相對論和量子場論的不兼容。

1 超弦理論提供了一套量子引力的很好解決方案，其認爲構成物質世界的基本粒子由一定尺度的開弦和閉弦組成。自旋爲 1 的規範粒子由開弦激發，自旋爲 2 的引力子由閉弦激發產生。目前發現 5 種自洽的十維超弦理論：Type I,Type II A,Type II B, 雜化弦以及 SO(32)雜化弦，除此之外還有低能極限下的十一維超引力。

2 AdS/CFT 指的是 Anti-de Sitter/Conformal Field Theory，即反德西特時空與共形場論的對偶。後來被推廣爲 gauge/gravity duality，即規範/引力對偶。

圖 3：引力的全息原理

故事的時間線回到 1976 年，霍金計算髮現黑洞的熱輻射是一個僅擁有溫度特徵的統計對象，它並不攜帶引力坍縮成黑洞的純態物質有用信息，這必然會導致黑洞信息丟失疑難[11]。當時霍金計算髮現其輻射部分的熵隨時增大，計算得到的結果是個混態。在量子場論中，幺正演化是柯西面上純態到純態的演化，也就是對應一個信息守恆過程。一個由純態物質塌縮形成黑洞後完全變成黑體輻射， 這一過程就對應一個從純態到混合態的演化。這一黑洞蒸發過程似乎與幺正性相違背，這種非幺正演化的過程直接導致黑洞信息丟失問題。霍金當時是在背景時空不變的前提下用半經典的方法推導出霍金輻射，並沒有考慮到物質場對時空幾何的反作用。1993 年，霍金的學生 Page 假定黑洞蒸發的幺正性前提下，以大致猜測的方式給出瞭解答，給出了輻射糾纏熵的大致演化過程，此即著名的 Page曲線[12]。但該曲線輻射糾纏熵的中間演化階段物理學家們還不知道如何計算，具體機制是什麼當時還不夠清楚。如果輻射糾纏熵確實遵循 Page 曲線，那麼黑洞蒸發是個純態到純態的演化過程，這樣量子場論的幺正性並未遭受到破壞，那麼蒸發過程中黑洞信息並未丟失。

圖 4：Don N. Page

圖 5：霍金輻射熵的 Page 曲線

此後關於黑洞信息丟失問題的研究在 2019 年出現了轉機。2019 年，Penington 和 Almheiri 等 人 將 包 含 量 子 極 端 曲 面 的 全 息 糾 纏 熵 糾 纏 楔（Entanglement Wedge，簡稱 EW）公式[13]運用到二維 Jackiw-Teitelboim（JT）引力[14-28]時空中計算黑洞的精細熵，發現蒸發過程中的黑洞精細熵滿足 Page 曲線[29,30]。同年，Almheiri 和 Maldacena 等人提出一個計算霍金輻射精細熵的公式， 該公式稱爲孤島規則“Island rule”[31,32]。“Island rule”公式從純引力的角度推導出 Page 曲線，是半經典體系下解決黑洞信息丟失問題的一個重大突破。

圖 6：2020 年新視野物理學獎得主：計算了黑洞及其輻射的量子信息內容

參考文獻（滑動查看）

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來源：中國科學院理論物理研究所

編輯：Serendipity

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