視頻回放｜數學是非常美麗的！浦江科學大師講壇第七期菲爾茲獎得主開講“表示論”

▲頒授“主講科學家”證書

7月25日，由上海市政協發起並主管，上海市政協科技和教育委員會、復旦大學、中共上海市科學技術工作委員會、市科學技術委員會、市科學技術協會和世界頂尖科學家協會等單位共同舉辦的“浦江科學大師講壇”第七期在復旦大學相輝堂開講。2006年菲爾茲獎得主安徳烈·奧昆科夫以“表示論的源頭與碩果”爲主題作主旨報告。上海市政協副主席吳信寶出席講壇併爲安徳烈·奧昆科夫頒授“主講科學家”紀念證書。復旦大學校長金力主持講壇。

“數學是非常美麗、非常深刻的，但有時它很難理解。”奧昆科夫說，“表示論的源頭是什麼？不妨先看看這些充滿對稱的圖形：正多面體、晶體結構，還有各種美麗繁複的飾品花紋。”

▲講解“表示論”

“表示論與對稱性有關，人類喜歡對稱，正是對稱思維激發了表示論的誕生。”奧昆科夫說，數學中的對稱性有兩大分類：離散對稱性和連續對稱性，其本質區別在於是否可以存在微小的擾動。當我們看到一個現象，不應僅僅思考這個現象，而應思考其背後的一般規律。數學家就是用抽象符號給出了對以上現象的闡述方式——抽象代數中“羣”的概念。

羣是數學研究的基本對象之一，簡單來說，它是一個帶有“乘法”作用的集合，這樣一個抽象概念可以很好地描述“對稱”這一現象。“我們可以用對稱變換的全體——對稱變換羣來描述研究對象的對稱性。”奧昆科夫說。

▲ 講解“表示論”

他認爲，不同的對象可能擁有相同的對稱羣，比如正十二面體和正二十面體，因此我們應該研究羣在具體對象上的“表現形式”，表示論就是研究這種“表現形式”的數學。

“表示論的核心是，不僅考慮我們研究的對象，還應該進一步考慮該對象所在的歐式空間，如正多面體所在的三維空間和正多邊形所在的二維平面，將研究對象上的變換延伸到整個空間上，這一般也被稱爲羣作用在整個空間上。”奧昆科夫說，這種將代數結構中的元素表示爲歐式空間上的線性變換的方式，就叫做表示論。

奧昆科夫介紹了一類重要的羣——Weyl羣，是僅由反射組成的有限羣。通過六邊形結構雪花的例子，他解釋了Weyl羣在表示晶體羣結構及量子色動力學等領域的重要作用。在此基礎上，他進一步介紹了仿射Kac‐Moody羣——由反射生成的無限晶體羣，可以用來描述物理上有無限維自由度的量子系統，這一重要特性讓其在量子場論等物理研究領域有着重要應用。

“表示論與其他學科的結合是一個重要研究方向。把這些數學理論應用到具體問題的解決中是很有意義的，這也意味着我們對相關理論的理解達到了新的高度。”奧昆科夫說。

▲ 講壇現場

主旨報告後，奧昆科夫與現場的青年學子與奧昆科夫互動交流，提出了很多數學領域高深問題，奧昆科夫逐一給予詳細解答，現場學術氛圍濃厚。

“作爲研究人員，你可以適當挑戰自己，但歸根結底你還是要找到你適合的研究領域，而不是強迫自己學習不喜歡的東西。”奧昆科夫說，要“打好基礎”，希望大家在學習新興成果時，也不要忘記那些優秀的學術經典和傳統，不要忘記從數學學科悠久的歷史長河中汲取力量。

面對人工智能時代的來臨，奧昆科夫認爲，我們既不能固守傳統，也不能一味追求AI的發展。傳統計算方法與最新的人工智能研究方法可以在數學理論研究中和諧共存，這需要我們用好數學傳統的同時，及時吸納人工智能最新應用。

市政協科技和教育委員會主任曹振全、常務副主任馬興發，人口資源環境建設委員會主任馬靜、常務副主任張喆人，經濟和金融委員會常務副主任馬益民等各專委會負責同志，市科技工作黨委、市科委、市教委、市科協、世界頂尖科學家協會等單位負責同志，以及部分市、區政協委員，大學、中學師生代表等參加。

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