數學的轉折點：第二次數學危機與微積分的誕生

萊布尼茨開創了數理邏輯，提出了計算之夢，喬治·布爾則在此基礎上完成了邏輯的算術化，在計算領域邁出了堅實的一步。

但要實現普遍語言和邏輯演算的夢想，數學還需要變得更加嚴格。

在歷史發展過程中，數學不斷經歷着這樣的嚴格化過程，將許多直觀的想法沉澱爲嚴格的理論。

而正是在對數學基礎的質疑和嘗試解決的過程中，數學家們建立了現在的計算理論。

這次回顧，要從第二次數學危機說起。

數學中的三大分支是幾何、代數和分析。

古希臘人發明了幾何學，後來，歐幾里得建立了公理化方法，並使該方法成爲數學這門學科最重要的基本方法。

代數自算術發展而來，是計算方法在應用實踐中的重要經驗總結，成爲計算理論涌現的源泉。

而到了17世紀，牛頓和萊布尼茨分別獨立發明的微積分的計算方法，成爲推動科學和數學發展的重要工具，並通過嚴格化運動，最終成爲分析的基礎。

由於微積分涉及無窮的概念，現在一般在大學本科教科書中才會出現。而且，教授順序一般是先微分再積分。雖然這樣從數學邏輯上更通暢，但是這與歷史的發展恰好是相反的。在歷史上是先有積分再有微分、級數、導數和極限概念的。

古希臘時期就有了積分思想的萌芽。

《幾何原本》總結了歐多克索斯的窮竭法。

窮竭法最早由古希臘詭辯學派的安提豐在嘗試解決“化圓爲方”問題時創立。化圓爲方是古希臘三大尺規作圖難題之一，它要求畫一個正方形，其面積恰好等於給定圓的面積。安提豐提出用圓的內接正多邊形逼近圓面積的方法來實現化圓爲方。他從正方形開始，演化出正八邊形、正十六邊形，重複這一步驟，逐漸“窮竭”，得到一個邊長極微小的正多邊形。安提豐認爲這個正多邊形的面積無限接近圓的面積，因此可以用這個方法來化圓爲方。這當然是行不通的，在此不再贅述理由。但安提豐提出的窮竭法卻被保留了下來，此後歐多克索斯將窮竭法嚴格化，使其成爲一種嚴謹的證明方法。

歐多克索斯使用的窮竭法基於一個原理：“給定兩個不相等的量，如果將比較大的量減去一半，然後將剩餘的量繼續減去一半，重複這個過程，最後必有某個餘量小於給定的較小的量。”

這一原理可由公理推導得出。

歐多克索斯利用窮竭法，嚴格地證明了一些幾何命題，這些證明被收錄在《幾何原本》中。後來阿基米德進一步發展了窮竭法，不僅用圓的內接多邊形實現“窮竭”，還用圓的外切多邊形實現“窮竭”，這樣圓就被限定在兩個多邊形之間。阿基米德用這種方法求得圓周率的上界和下界分別爲 22/7 和 223/71，這是歷史上第一次用科學方法求得圓周率的近似值。歐多克索斯和阿基米德在窮竭法中應用的思想已經非常接近定積分思想。

積分的思想雖然早在古希臘時期就已萌芽，但是微分的思想直到17世紀纔出現。這一時期的一些重要問題，如運動的問題、求極值的問題，尤其是求切線的問題，推動了微分思想及其計算方法的出現。在解析幾何創立後，許多數學家都加入了對這些問題的研究。笛卡兒、羅伯瓦爾、費馬和巴羅等人都給出了一些方法。但這些方法有的依賴於直覺，有的則只能解一些特定的問題。而在求切線、極值、面積和體積等問題中，知識比較零散，也沒有人將其關聯起來發現一種一般性的方法。百廢待興之際，時代巨人即將登場。

牛頓和萊布尼茨在數學上的偉大貢獻在於，分別獨立發明了一種一般性的微積分計算方法。積分、微分的思想與方法並非他們首創，但是他們二人的確是歷史上第一次採用一種通用的計算手段來計算積分與微分的人。他們引入了專用的數學符號，同時發現積分和微分是互逆運算，這構成了微積分基本定理。微積分的發明權在歷史上有過爭議，英國人指責萊布尼茨剽竊了牛頓的想法，而萊布尼茨則撰文予以反駁。

經歷史學家考證，現在基本認定兩人的發明是相互獨立、各有淵源的。由於篇幅有限，在此不再贅述神仙打架的種種軼事。

牛頓是巴羅的學生。在牛頓26歲時，巴羅將盧卡斯數學教授一職讓位給這位年輕的數學天才，而自己改任皇家牧師。

這一職位此後都由鼎鼎大名的人擔任，其中包括狄拉克和霍金。

1665年，由於自己就職的大學流行瘟疫，牛頓回到鄉下，度過了相當自由的兩年。他的很多偉大想法，如微積分、光學和萬有引力，都成形於這兩年。

1666年堪稱牛頓的奇蹟年，他除了在物理學上做出了傑出的貢獻，還留下了5000多頁的數學手稿，但這些手稿大部分沒有發表。萊布尼茨曾評價：“古往今來的所有數學研究，牛頓做了一大半。”而許多數學家也認爲，阿基米德、牛頓和高斯是數學史上貢獻最大的3位數學家。

牛頓發明的微積分方法，受到笛卡兒的《幾何學》和沃利斯的《無窮算術》的影響。

1665年11月，牛頓發明了流數術（微分法），而在次年又發明了反流數術（積分法）。用牛頓的話來說：“我把時間看作連續流的流動或增長，而其他量則隨着時間而連續增長。我從時間的流動性出發，把所有其他量的增長速度稱爲流數；又從時間的瞬息性出發，把任何其他量在瞬息時間內產生的部分稱爲瞬。”

從這個解釋來看，牛頓是從物理直觀出發，借鑑了運動學中的速度，引入的流數概念。牛頓的定義通過時間直覺隱含了連續性，而他對瞬的定義本質上是無窮小，但並沒有解釋清楚瞬到底是點還是線段。

這些許含糊和尷尬之處也爲第二次數學危機的爆發埋下了隱患。

但牛頓通過流數法，很清晰地建立了微分和積分的聯繫，即它們是互逆的運算。他敏銳地洞察到，可以從確定面積的變化率入手，通過反微分計算面積，面積計算被看成求切線的逆過程。

1666年，牛頓將流數法總結成論文《流數簡論》，這標誌着微積分的誕生。此後牛頓又進一步藉助幾何解釋把流數理解爲增量消逝時獲得的最終比，提出“首末比方法”，並貫穿於他的著作《自然哲學的數學原理》和論文《曲線求積術》中。這是極限思想的雛形。

歐洲大陸的萊布尼茨則走了另一條路。萊布尼茨在惠更斯的指導下走上數學研究的道路。

當時的數學家普遍在關心曲線切線、曲線圍成的面積和立體圖形的體積等問題。1673年，萊布尼茨注意到帕斯卡在解決圓的面積問題時引入了“特徵三角形”，突然意識到這個方法可以被推廣到更一般的情況：對任意給定曲線都可以構造這種特徵三角形（微分三角形）。

此後，他應用這種特徵三角形解決了各類面積、曲線切線的求解。在惠更斯的建議下，萊布尼茨研究了笛卡兒的理論。他曾表示：“根據笛卡兒的微積分，可以把曲線的縱座標用數值表示出來。……求積或求縱座標之和，同求一個縱座標（割圓曲線的縱座標），使其相應的差與給定的縱座標成比例，是一回事。我還立即發現，求切線不過是求差，求積不過是求和，只要我們假設這些差是不可比擬般小的。”

因此，萊布尼茨把微分看作變量相鄰兩值無限小的差，而積分則是由變量分成的無窮多個微分之和。於是他很自然地得到了微積分基本定理，即積分和微分是互逆運算。

1684年10月，萊布尼茨在《教師學報》上發表了一篇標題很長的論文《對有理量和無理量都適用的，求極大值、極小值和切線的新方法：一種值得注意的演算》。這篇論文只有6頁，卻總結了萊布尼茨在微分方面的所有成果，是公認的最早發表的微積分文獻。

1686年，萊布尼茨又進一步發表了積分學的論文。萊布尼茨非常重視數學符號的使用，認爲簡潔有力的符號能夠提高數學的效率。現在的許多符號都源自萊布尼茨，比如我們熟知的微分符號d。

歐洲大陸採用萊布尼茨的微分符號dx，這被稱爲“d主義”；而英國由於牛頓的影響力和門派之見抵制萊布尼茨的符號，採用了牛頓在流數法中使用的微分符號，在變量上面加一個點，這被稱爲“點主義”。由於符號使用效率的不同，英國的數學發展落後歐洲大陸將近兩個世紀之久，直到19世紀，在一羣年輕數學家的努力下，英國才全面使用了萊布尼茨的符號。

以上摘自吳翰清新作《計算》！

計算已經成爲人們生活中不可或缺的組成部分，人類社會享受了計算技術的紅利得以飛速發展。可以說當今的計算機科學和產業應用的成就是人類文明有史以來所有智慧的結晶。

解釋、澄清和發展“計算”這一重要概念，即本書之寫作目的。

本書從探索數學的起源開始，細數了數學史上三次危機的來龍去脈，逐漸引出計算理論的誕生和發展，以及這些過往是如何影響當今計算機科學最前沿方向的。

最後本書從哲學層面探討了計算的邊界，將其視爲人類需要繼續探索的未解之謎。

本書橫跨了人類近3000年的文明史，綜合了數學、哲學、物理學、計算機科學、人工智能、複雜系統科學等多門學科，呈現出一種獨特的計算主義的世界觀。