走近卡拉比-丘成桐空間，解密“弦論的DNA”
引言
美麗幾何點綴弦論 物理數學殊途同歸
撰文 | 張天蓉
責編 | 寧 茜 呂浩然
科學就是如此奇妙，很多時候，物理學家和數學家經常從完全不同的理由出發，獨自進行研究，最後卻發現得出了某種相同的結構，卡拉比-丘空間的發現是此類實例之一。
01
弦論的DNA
丘成桐（1949- ）在1977年就證明了卡拉比（Eugenio Calabi，1923- ）於20多年前純粹作爲幾何問題而提出的猜想，從此以後，卡拉比-丘空間（Calabi-Yau Space）便成爲了他的“掌上明珠”。但丘成桐可能不知道的是，同樣也有一批理論物理學家和數學物理學家，逐漸被這種類型的幾何結構所吸引。那幾年，他們正在“衆裡尋他千百度”呢，但卻萬萬沒想到，這“燈火闌珊處”，原來就在離得不遠的數學界。
1984年，丘成桐接到他以前的博士後加里·霍洛維茨（Gary Horowitz，1955- ）和好友安德魯·斯特羅明格（Andrew Strominger，1955-）的電話。他們告訴丘成桐，在他們最近的工作中，發現弦論中蜷縮起來的額外六維空間，就應該是卡拉比-丘空間。他們的結果發表在 Candelas-Horowitz-Strominger-Witten 1985 年的文章裡。
從物理學的角度看，卡拉比-丘空間最簡單的特性，可以用一句話來描述：這是一個裡奇平坦的、緊緻的複流形，怎麼理解這三個特性呢？
01
複流形
複流形（complexmanifold）是具有複數結構的流形。流形則可以簡單地被理解爲局部平坦的空間，換言之，其上的每個小區域看起來都像普通的歐幾里德空間（Euclidean space）（“流形”和“空間”兩個詞彙通用，本文以後將不再區分）。複流形就是能被一族具有複數座標的鄰域所覆蓋的空間。一個n維複流形也是2n維的（實）流形。例如，圖1是1維複流形（2維實流形）的幾個特例。
圖1：幾種特殊的1維複流形
圖1a複數平面（complex plane）是最簡單平庸的1維複流形。b所示的環面（Flat torus）是卡拉比-丘流形的實2維類比。c黎曼球面（Riemann Sphere）和d平方根黎曼曲面（Riemannian surface）是黎曼流形的例子。
02
緊緻性
緊緻性流形是因爲空間彎曲而造成的圖形，如圖1b和1c所示。緊緻性，有其嚴格的數學定義，在丘成桐先生的科普書《大宇之形》中，將其簡單地解釋爲“範圍有限”。我們也不妨使用康奈爾大學麥卡利斯特（Liam McAllister）的話來這樣直觀理解緊緻性：“可以用有限塊、有限大小花布縫製的被子來完全覆蓋它”。卡拉比–丘流形屬於緊緻性流形，因此將它用於弦論中時，我們這些四維時空的居民，根本看不到這個緊緻極小的六維空間。儘管它無處不在，系附在我們世界的每一時空點。
然而，這個看不見摸不着的空間，對我們的4維時空有着深刻的影響。弦論學者們認爲，原則上，只要我們知道這個緊緻空間確切的形狀，我們就知道了一切。也有人說：“宇宙密碼可能寫在卡拉比-丘空間的幾何性質中”，就像人體DNA記錄了人體的秘密一樣。因此，弦論的創建者之一，斯坦福大學物理學家薩斯金（Leonard Susskind，1940- ）宣稱，卡拉比-丘流形是“弦論的DNA”。
03
裡奇平坦
裡奇平坦空間（Ricci-flatmanifold）的意思是該空間的裡奇曲率（Ricci curvature）爲0。那麼，又何謂裡奇曲率呢？這個名詞對物理（弦論）很重要，但解釋起來需要更多的預備知識。此外，如同卡拉比-丘空間這樣一種頗爲複雜的復3維（實數6維）幾何結構，又是如何與物理學關聯起來的？這些都得慢慢從頭說起。
02
背景
01
幾何與物理
其實上，科學史中幾何與物理的交匯之點比比皆是、源遠流長。
幾何與物理是相通的，楊振寧曾經贈給著名幾何學家陳省身一首詩：“天衣豈無縫，匠心剪接成。渾然歸一體，廣邃妙絕倫。造化愛幾何，四力纖維能。千古寸心事，歐高黎嘉陳。”（編者注：先別看下文，詩中的最後一句“歐高黎嘉陳”，你知道是哪五位幾何學家麼？）
其中所言“四力纖維能”，指的是楊先生1954年建立的用於“四種力”的規範場論，正巧與陳省身先生8年前（1946年）提出的“纖維叢”理論，奇妙地聯繫在一起。詩裡最後一句則點出了“歐幾里德（Euclid，約330B.C-275B.C）、高斯（Carl Friedrich Gauss，1777-1855）、黎曼（Friedrich Riemann，1826-1866）、嘉當（Élie Joseph Cartan，1869-1951）、陳省身（1911-2004）”五位偉大幾何大師的名字，他們的工作都與物理學有一定關係。
歐幾里德幾何與牛頓力學的關係是顯而易見的：靜力學的分析中，幾何圖形處處可見；描述天體的運動時，少不了幾種圓錐曲線。牛頓第二定律的公式F = ma，左邊的F是物理量，右邊的加速度a，是軌道變量的二階導數，在一定的情況下可表現爲曲率，描述某曲線偏離直線的程度，是幾何量，如圖2所示。
圖2：平面曲線的曲率半徑和曲率
曲率（curvature）是什麼呢？對平面曲線而言，曲率是曲率半徑（密切圓半徑）的倒數，表徵曲線的彎曲程度。比如說，比較圖2中的曲線在點A、B、C的曲率：點A的曲率小於點C的曲率；點B的曲率最小，因爲它的附近是一段無彎曲的直線，曲率爲0。
當幾何的研究範圍從曲線擴大到曲面的時候，曲率增加了一個本質上全新的概念：內蘊性。由此可將曲率分爲外在曲率和內蘊曲率。圖2所示曲線的曲率是外在曲率。
德國數學家高斯在1827年的著作《關於曲面的一般研究》中，發展了內蘊幾何和內蘊曲率的概念[1]。
02
內蘊曲率和外在曲率
內蘊，是相對於“外嵌”而言。內蘊幾何（intrinsic geometry），說的是那些源於內在結構而不依賴於所“嵌入”的外在空間的幾何，也就是在該空間以內“感受”到的幾何性質。我們先從一條線說起，線是1維空間，把它畫到圖2中，便是將它嵌入了2維空間。設想有一個生活在線上的“1維小螞蟻”，它只知道這條線，不知道有圖中的平面，更不知道我們能感受到的3維空間。也就是說，我們看見這條線在平面上彎來拐去，小螞蟻卻是看不見也感覺不到的。那條1維線如何彎如何拐，都是我們看見的“外在”性質。螞蟻只知道順着線爬過去，我們看到的是“彎曲”還是“平直”，對螞蟻來說，沒有任何區別：只有爬過的距離，沒有前後上下左右。
所以，圖2中標出的那條線上不同點（A、B、C）的不同曲率，是1維線的外在曲率。因此，1維的內蘊幾何很簡單：任何1維線（在任何點）的內蘊曲率均爲零。
現在考慮二維的情況。例如，我們用一張紙代表2維空間。將它平鋪在桌子上，是平坦空間。如果將它捲成圓柱面或錐面，看起來便彎曲了。但是，這裡所謂的“彎”是我們從3維空間看這張紙的形狀，並非這張紙本身的性質。也就是說，這種“彎”是外在而非內蘊的。換言之，紙上的“2維螞蟻”，感覺不到平坦鋪於桌子上的紙與捲成了圓柱面的紙有啥不同。
爲了描述曲面的內蘊性質，高斯將曲面上的曲率定義爲兩個主曲率（最大和最小）的乘積，即高斯曲率（Gauss curvature）。圖3中用紅色標示出了柱面、錐面和球面的主曲率方向。從圖中可見，柱面和錐面在x方向的主曲率爲0，因此高斯曲率（與0的乘積）也爲0；球面的兩個主曲率都不爲0，使得球面的高斯曲率不爲0。
一張紙捲成了圓柱面，其內在幾何性質並未改變，因爲將它攤開後仍然是一張平紙，從頂點剪開一個錐面也是如此情形。這種展開後爲平坦的性質叫做可展性。可展性與內蘊性緊密相關，這兒不詳細解釋，僅以圖3中的圖像實例來幫助大家理解，更多詳情見參考資料[2]。
圖3：可展和不可展曲面
其實，從日常生活經驗，很容易理解“可展”和“不可展”的含義。從圖3a也可以看出，可展面就是可以展開成平面的那種曲面。
圖3b所列舉的是不可展曲面，也就是不能展開成平面的曲面。例如，球面是不可展的。一頂做成近似半個球面的帽子，無論如何你怎麼剪裁它，都無法將它攤成一個平面。換句話說，球面和柱面有一種本質的不同。柱面看起來也是“彎曲”的，但本質上卻是“平”的，這種情況下我們說，柱面的外在曲率不爲0，但內蘊曲率爲0。而怎麼也“弄不平”的球面呢？兩種曲率都不爲0。所以，內蘊曲率（以後簡稱曲率）反映了空間“平或不平”的本質，這對物理學很重要。
可展是曲面的性質，但可以推廣到高於2維的空間，對1維的情況，曲線都是可展的，因爲一條曲線無論彎曲成什麼形狀，都可以毫無困難地將它伸展成一條直線。因此，曲線沒有內蘊性。
高斯在發現“高斯曲率”是一個曲面的內在性質時，一定是無比興奮和激動的，因爲他情不自禁地將他的結論命名爲“絕妙定理”：三維空間中曲面在每一點的曲率不隨曲面的等距變換而變化。言下之意就是說，他定義的高斯曲率是一個內蘊幾何量[2]。
絕妙定理絕妙之處就在於它提出並在數學上證明了內蘊幾何這個幾何史上全新的概念，它說明曲面並不僅僅是嵌入三維歐氏空間中的一個子圖形，曲面本身就是一個空間，這個空間有它自身內在的幾何學，獨立於外界3維空間而存在。
03
黎曼曲率和裡奇曲率
高斯告訴我們：空間本身可以彎曲。但高斯對內蘊幾何仍然有所迷惑，他在給天文學家奧伯斯（Heinrich Olbers，1758-1840）的信中說道：“我們幾何的必然性是無法證明的……或許在下輩子，我們會對目前無法觸及的空間本質有所理解”。不過，高斯不用等到下輩子，他還在世時就已經看到他的得意門生黎曼，正成功地走在他開創的幾何之路上。
圖4：高斯、黎曼、裡奇
黎曼多病，年僅四十歲便英年早逝，但他對數學作出了多項傑出的貢獻。他奠基的黎曼幾何（Riemannian geometry），成爲廣義相對論不可或缺的數學基礎，對空間內蘊本質有了更爲深刻的理解。
空間不僅可以彎曲，在每個點的彎曲程度還可以各不相同。於是，黎曼於1854年引入了一種特殊的度規方式，指派給空間中每一點一組數字，從這些數字及其微分可計算空間中兩點間的距離，從而也就可以決定空間各點自身的彎曲程度，即計算每一點的曲率。
此外，對任意n維空間，存在許多不同的方向，僅僅高斯曲率一個數值，不足以描述n維空間的度規，也不能完整地描述它的彎曲情況。因此，一般將度規及曲率表示成張量（Tensor）的形式。所謂張量，可理解爲“標量、矢量、矩陣”等數組形式向n維空間更高階的擴展，階數越高，張量的分量數目便越多。例如，在4維空間中，作爲0階張量的標量只有1個值；矢量（1階張量）4個值；2階張量有42=16個分量；4階張量有44=256個分量。
四維時空中，度規gij是2階對稱張量，表達曲率的標準形式是4階的黎曼曲率張量（Riemann curvature tensor）Rklij。由於對稱性，度規張量只有10個獨立的分量，相應的黎曼曲率張量[3]有20個獨立的分量。另一種裡奇曲率張量（Ricci curvature tensor），與度規類似，也是具有10個獨立分量的2階對稱張量，以意大利數學家裡奇（Gregorio Ricci，1853-1925）的名字命名，裡奇也是理論物理學家，是張量分析創始人之一。
04
廣義相對論
愛因斯坦完全從物理和哲學的角度，用幾何理論來思考引力。他擴展了等效原理（equivalence principle），意識到我們生活的時空是彎曲的，並且折騰了3、4年尋找描述彎曲時空的數學。最後，卻是“得來全不費工夫”——愛因斯坦的同學兼好友格羅斯曼（ Marcel Grossman，1878-1936），將黎曼幾何介紹給了他。這才使愛因斯坦擺脫了困境，順利建立了廣義相對論。愛因斯坦驚奇不已地發現，這個與他的要求完美契合的數學理論，早在廣義相對論誕生的50多年之前就被髮展完善等待在那裡了。
總之，廣義相對論將引力與幾何聯繫起來，正如相對論專家約翰·惠勒（John Archibald Wheeler，1911-2008）解釋的：時空告訴物質如何運動，物質告訴時空如何彎曲。
圖5：愛因斯坦引力場方程
圖5所示的是廣義相對論中的引力場方程，等號右邊的能量、動量、張量描述物質分佈情況，左邊是度規以及度規決定的曲率。也就是說，方程的右邊是物理，左邊是幾何。注意方程中將宇宙常數項設爲0。這是當年愛因斯坦加上又後悔的那個“錯誤”，現在被人們解釋爲暗能量的可能來源，我們暫不予考慮。
不過，場方程中的曲率並不是完整描述空間內蘊性質的黎曼曲率，而是從黎曼曲率張量指標縮減後導出的裡奇曲率Rμν（圖中左起第一項，稱裡奇張量），圖中左起第二項中的標量曲率R，也稱裡奇標量曲率（Ricci scalar），是裡奇張量Rμν的兩個指標再次縮減後的結果。
黎曼曲率張量有20個分量，裡奇曲率分量的數目只有它的一半。無論20個數還是10個數，都是用來描述4維時空的彎曲情況。這就像是給連綿起伏的山區拍一組照片，“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”，既可以用20張標準照片來描述這一帶的地貌，也可以簡化到10張照片給該區域一個稍微粗略一些的概括。對裡奇曲率的另一種直觀理解是：裡奇曲率是某種與黎曼曲率張量相關但更爲細緻的“截面曲率”平均值。這與它是由黎曼曲率指標縮減得到的概念一致，因爲指標縮減時的求和過程類似某種“平均”。
03
裡奇平坦
現在，我們可以回到本文開始時對卡拉比-丘空間的描述，解釋其中“裡奇平坦”的意義。裡奇平坦，就是裡奇曲率爲0（包括張量和標量）。根據愛因斯坦方程，裡奇曲率和物質場緊密相關，所以，裡奇平坦空間是沒有任何物質和能量的空間，也就是“真空”（但不考慮宇宙常數）。
換一個說法：裡奇平坦空間是愛因斯坦方程的一個真空解。真空解可以是平庸的，例如完全平坦如閔可夫斯基空間（Minkowski space），固然沒啥意思，我們也不感興趣。然而，因爲裡奇曲率是“平均”值，只是真實曲率的一部分，它爲零並不等於黎曼曲率爲零。於是，有趣的問題產生了：假如一個空間是真空的，無任何物質和能量，它還會彎曲（即有引力）嗎？
上述問題也可以說是對當年卡拉比提出的問題的一種物理方式的粗略表述，儘管他是完全從幾何的角度出發的。卡拉比自己猜測這種空間存在，他的猜想最後被丘成桐嚴格證明了。所以，卡拉比-丘空間是存在的，並可以被簡單表述成是“緊緻的、非平庸的、愛因斯坦方程的真空解”。
空無一物的空間仍然有曲率、有引力、有複雜的幾何及拓撲性質，這對物理學家太有吸引力了。並且又是緊緻的，可以將它塞到我們4維時空中的每一點。看不見摸不着卻能產生物理效應，生成宇宙中的物理規律，解釋標準模型等，還能將水火不容的引力與量子結合到一起，這不正是理論物理學家所需要的嗎？ [1]
卡拉比-丘流形是複流形，可以是任何偶數維度的實空間。復1維（實2維）的卡拉比-丘流形，就是圖1b所示的抽象環面，它完全平坦，所以意義不大。復2維的K3曲面在弦理論中扮演重要角色，因爲它具有除環面之外最簡單的緊緻性。
當然，弦論中最重要的是6維（復3維）的卡拉比-丘流形，因爲它恰好提供了超弦需要的6個額外維度。不過，復3維卡拉比-丘流形不是如丘成桐先生開始時花了很大功夫才確認的那個，也不止幾個，而是有成千上萬個。每個均具有不同的拓撲形態，是弦論方程的不同解。在每一種拓撲類別裡，又有很多種可能的幾何形狀。
這個事實在弦論學家們腦海中，投下了巨大的陰影，且聽下回分解。
參考文獻
[1]Carl Friedrich Gauss (Author), Adam Hiltebeitel (Translator), JamesMorehead(Translator), General Investigations Of Curved Surfaces Unabridged(Paperback),Wexford College Press, 2007,
[2]張天蓉. 廣義相對論與黎曼幾何系列之四：內蘊幾何[J]. 物理, 2015, 44(08): 539-541. http://www.wuli.ac.cn/CN/Y2015/V44/I08/539
[3]張天蓉. 廣義相對論與黎曼幾何系列之十：測地線和曲率張量[J]. 物理, 2016, 45(2): 124-126. http://www.wuli.ac.cn/CN/Y2016/V45/I2/124
製版編輯 | Morgan
本文經授權轉載自《賽先生》微信公衆號