最接近神的公式——歐拉公式

英國科學期刊《物理世界》評選出了世界上最偉大的十個公式：歐拉公式、麥克斯韋方程組、牛頓第二定律、勾股定理、薛定諤方程、質能方程、德布羅意方程組、1+1=2、傅立葉變換、圓的周長公式。

今天我們就來窺探這個號稱最接近神的公式——歐拉公式。

在說歐拉公式之前，我們要先簡單介紹一下“歐拉”這個“神”一樣的男人。

萊昂哈德·歐拉，瑞士數學家、自然科學家。1707年4月15日出生於瑞士的巴塞爾，1783年9月18日於俄國聖彼得堡去世。天才的道路往往都是相似的，13歲的歐拉入讀巴塞爾大學，15歲大學畢業，16歲獲得碩士學位，期間他師從瑞典著名數學家—約翰·伯努利。

他是數學史上最多產的數學家，平均每年寫出八百多頁的論文，還寫了大量的力學、分析學、幾何學、變分法等的課本，《無窮小分析引論》、《微分學原理》、《積分學原理》等都成爲數學界中的經典著作。他不但爲數學界作出貢獻，更把整個數學推至物理的領域。其中歐拉也是數學的分支拓撲學領域的先驅，拓撲學在如今已經變得非常重要（有機會我們聊一聊）。

法國數學家拉普拉斯說：讀讀歐拉，他是所有人的老師。

也是正是因此，他成爲了很多學生最大的噩夢。

歐拉年輕時曾研讀神學，他一生虔誠、篤信上帝，並不能容許任何詆譭上帝的言論在他面前發表。歐拉在葉卡捷琳娜二世的宮廷裡，挑戰當時造訪宮廷的無神論同樣是數學家的德尼·狄德羅：“先生，，所以上帝存在，請回答！”不懂數學的德尼完全不知怎麼應對，只好投降。

說了這麼多，只爲佐證一個事情：歐拉是大神，歐拉公式更是無可挑剔。

其實上面的等式只是歐拉公式的一個特例，真正的歐拉公式是這樣的：

其中x是實數。 當x=時，代入公式如下：

這就是有名的：

下面，需要證明最上面的歐拉公式。 今天我們只說大部分科學論文中出現的證明方法（我在《用級數定義一些函數》中已經簡單證明過）。使用了麥克勞林公式， 首先導出麥克勞林的展開式：

爲了進行比較，請導出sinx和cosx的麥克勞林展開表達式：

如果我們用ix替換e中的x：

提出了所有包含I的公式，與sin x和cos x的麥克勞林展開式進行比較，如下：

這樣就得到了歐拉公式：

那麼它到底有什麼用呢？其實，歐拉公式的真正意義就在於，它將指數函數與三角函數在複數範圍內建立了聯繫。

【練習】解方程：（答案：）