從簡單的整數到神秘的虛數，這些數的類型你必須搞懂！

你有沒有想過，數是什麼？

從小學開始，我們就被告知有 0, 1, 2, 3 這些自然數，之後又認識了 負數 和 分數，接着又跳進了 無理數 的大海，在高中的某個時刻還初識了更神秘的 虛數。

數的世界就像是一個龐大的家族，有各種各樣的“成員”，它們各自扮演着不同的角色。那麼，今天我們就來一次有趣的“數之世界”探險，看看它們是如何從簡單到複雜，逐步構成數學的奇妙世界的。

從最簡單、最熟悉的自然數開始，即我們平時用來數東西的數：0, 1, 2, 3, 4, 5...。

自然數的一個重要特點是，它們永遠不會是負數：在自然數家族裡，大家都是積極向上的小夥伴。

自然數幫助我們理解最樸素的“計數”，是數學的起點。

然而，生活並不會一直陽光明媚，我們會遇到零下攝氏度或銀行賬戶裡顯示的“負餘額”：信用卡透支或房貸（提到這個話題，筆者心裡總是沉甸甸滴~）。

爲了描述這種現象，我們引入了 整數。整數不僅包括正數，還包括 負數，以及它們之間的平衡者——0。因此，整數的完整集合是：

ℤ = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

整數不僅幫助描述正向的世界，也讓我們理解“負面”的現象。

當我們學會把一個蘋果分給兩個人時，有理數 就應運而生了。

有理數是可以表示爲兩個整數之比（即分數）的數，形式如下： a/b，其中 a, b ∈ ℤ, b ≠ 0

（我們沒法把蘋果分給“0”個人，所以分母不能爲零，不然數學家真的會抓狂）。

有理數，比如 1/3, 355/106, -2/3，甚至整數本身也是有理數，因爲它們總是可以寫成 n/1 的形式。

有理數的作用無處不在，但凡涉及“分配”或者“比例”，它們就會閃亮登場。

有理數家族已經夠龐大了，但你以爲這就是全部了？不不不，歡迎來到更廣闊的實數世界！實數不僅包括有理數，還包括那些無法用分數表示的“神奇數”——無理數。

無理數的名字聽起來有點“無理取鬧”。要知道，古希臘畢達哥拉斯學派堅信，所有的事物都可以用整數或整數之比來表達：世界應當是整潔、有理且可以度量的。

不過其中一位成員希帕索斯在研究邊長爲 1 的等腰直角三角形的斜邊長度時，發現結果竟然是 √2。他嘗試用整數或分數來表達這個結果，可失敗了——它無法用兩個整數的比來表示，它的小數部分是無限不循環的，比如 √2 = 1.414213562373095...

就這樣一直延續下去，還永遠找不到重複的規律。

常見的無理數還包括：π（圓周率）、e（自然對數的底數）、φ（黃金分割比）、√3 等。

因此，實數包括了所有的有理數和無理數，形象地說，實數就是數軸上所有的點，從左到右，無窮無盡。

接下來，會遇到了兩個稍微抽象的概念：代數數和超越數。

代數數是那些能夠成爲某個整數係數多項式方程解的數。比如，3x² - 9x + 6 = 0 的解是 x = 1 和 x = 2，因此它們兩個是代數數。

代數數不僅包括有理數，還包括一些無理數。比如，√2 就是方程 x² - 2 = 0 的解，φ 是方程 x² - x - 1 = 0 的解，所以它們也都是代數數的一員。

但並不是所有的數都能被整數係數多項式方程“馴服”。有些數，無論你如何組合整數係數的多項式，它們都不會成爲解。這些數被稱爲超越數。

最著名的例子就是 π 和 e。無論你怎麼組合整係數的多項式，它們就是不願意成爲方程的解。

你以爲故事就到這裡結束了？不，歡迎來到 複數 的世界。複數是由一個實數部分和一個虛數部分組成的，形式爲 a + b，其中 是虛數單位，也是方程 x² + 1 = 0 的解—— 也是一個代數數。

虛數聽起來有點像魔法，但它們非常實用，特別是在物理學、電力學和工程中有廣泛的應用。通過複數，人們可以處理那些僅用實數無法解決的問題。

數的世界遠不止這些，還有許多更高級的數系等待探索。

比如，四元數 和 八元數 擴展了複數，幫助人們處理三維和更高維的旋轉問題；p 進數 則在數論中扮演着重要角色，它通過質數的視角重新定義了“距離”，併爲數論中的整除性和同餘問題提供了強有力的工具。還有 超複數，如 雙曲數 和 雙數，它們在物理和工程中有着特殊的應用，尤其是在處理時空幾何和自動微分問題時。如果你認爲無窮小隻是微積分中的抽象概念，那麼 超實數 將顛覆你的想法，它們讓無窮小和無窮大的操作變得嚴格且可行。

每一種數系都是理解世界的鑰匙。而你我，正站在這條通向無限的道路上，保持好奇心，勇敢追尋！