他們培養學生，不僅僅“培養”論文

3.14知識分子

The Intellectual

編者按

2024年的3月14日是第5個國際數學日，在AI已經可以挑戰國際數學奧林匹克競賽的今天，這個新生物種幾乎能夠證明數學定理，且註定會顛覆整個數學研究，作爲人類，重新體會數學的美麗與它在我們生活中的重要性顯得尤爲重要。我們決定在這一天發佈丁玖教授的此文，正是這些師者，在三尺講臺上，用數學之美感召着臺下的年輕人，讓人類文明中最爲精妙與優美的這個學科，得以一代代傳承下去。無論AI的邏輯和數學能力發展到了什麼程度，那些對數學之美的感知，那些來自師者的精神傳承，都是人類所獨有的。

撰文｜丁玖

責編｜李珊珊

1972年讀高二時，我曾目睹過一個感人的場景。那年春我們家建了私房，這是創辦了我們家鄉小學的我父親和身爲小學語文老師的我母親婚後的第一所房產。泥瓦匠砌房子的時候，我請了三天假回家幫忙。那件感人之事就發生在第一天。

這天早晨嘩啦啦來了一大批人，有的我認識，有的我不認識，都是我父母的早期學生！他們聽說老師要建新房，紛紛從家裡趕來幫忙，分文不取當小工，尤其令我家人感動的是，年紀越大的學生越是積極，好像他們欠了我父母一大筆人情債一定要還似的。在這幫“高齡”學生中，有一人看上去特別顯眼，因爲他走路一瘸一跛的，體型也特別清瘦。他和其他人一起，來回搬運泥瓦匠所需要的磚頭。我父母勸他不要來回走動了，即便站在那裡充當“工頭”角色，也讓他們感到不安，畢竟他行動起來比正常人困難，但他全然不顧，搬磚不止。這個“感人鏡頭”被也在現場搬磚的我瞧在眼裡，記在心頭。

確實，學生是老師手執教鞭的高質教育產品，是辛勤園丁澆灌出的鮮美果實，我父母的學生們便在此時利用這個機會報答老師的教育之恩。這就是那代人的尊師行爲。他們的做法可以成爲語文教師用在課堂上解釋成語“一日爲師，終身爲父”的最佳範例！是啊，尊師是中華文化的優良傳統，愛生是優秀教師的優美品德。好的教育一定是尊師與愛生的統一和載體。

今日，有多少學生會終生牢記教書先生的恩情；然而反之，又有多少老師值得讓學生終生懷念呢？

之前，我曾在數篇文章裡描述了我大學同窗的高考趣聞及讀書故事後，今天，我的筆頭就要轉向我們的授課老師了。總體而言，他們基本上不苟言笑，甚至還有不少迂腐之處。他們中的絕大部分人一輩子沒有寫過多少“研究論文”，但是他們卻培養出了一批又一批合格人才，用行動書寫出醒目的“爲人師表”四個大字。他們對教育事業的熱忱，熱得足以把我的筆尖融化。在將他們的名字一一介紹時，我不再採用之前大都按姓氏筆畫排序的方式，而是像電影故事片中人物依次出場那樣，按照我們本科時必修科目的先後順序隆重推出。

第一個進入我視野的自然就是我們大學一、二年級主課——數學分析的第一年授課老師顏起居(1936-2011)。顏老師是福建人，在我們那個時代，據說福建的高考成績在全國名列前茅。大學畢業後留系教書的他讀書時肯定是學習尖子，那時畢業時被系裡抓住不放留校任教的應該都是班上的前幾名。我曾在紀念我的碩士導師何旭初(1921-1990)先生冥壽九十週歲的文章《一個時代的回憶》中寫到顏老師：

這段話中的“程咬金的大斧頭”不是我自己比喻的，而是出自顏老師的口中，不過我將他的原話“程咬金的三板斧”改爲“大斧頭”，專門砍向那令人生畏的極限概念。我能想象顏老師可能對《隋唐演義》這類歷史小說中的情節非常熟悉。據我所知，許多數學教授特別喜歡歷史，尤其是那些流芳百世的偉大數學家，比如俄羅斯大數學家柯爾莫哥洛夫(Andrey Kolmogorov，1903-1987)和匈牙利裔美國數學家馮·諾伊曼(John von Neumann，1903-1957)。前者所寫的第一篇論文就是關於幾百年前一個俄國城市的興衰史，要不是教他的教授說“歷史結論至少需要五個論據”而數學定理只需一個證明，他就會終生以歷史學家的面目出現。如果想知道後者的歷史知識有多淵博，就請去看他的最親密朋友、“氫彈之父”烏拉姆(Stannislaw Ulam，1909-1984)在其自傳《一位數學家的經歷》(Adventures of a Mathematician)中對他的描述。我班同學中愛好歷史的也有不少。在王宏玉全家曾住過的別墅裡，有個房間裡的大書架上放的全是《二十四史》；田剛以數學成名後也以愛好歷史被記者記錄；而冒榮則更進一步，乾脆拿了歷史學科的博士學位。我讀過他關於“中國科學社”歷史的博士論文，證明一百一十年前留美學生創辦的這個中國近代科學團體的偉大歷史作用，採用的證據可能超過了五個。

顏起居老師並不屬於系裡純數學方向的某個教研室，而是何旭初先生和蘇煜城(1927-2022)先生領導下的計算數學教研室成員。蘇先生是揚州市區人，和南大計算機科學的創始人之一徐家福(1924-2018)同期留學蘇聯，專攻偏微分方程數值解，獲得副博士學位後來到南京大學任教。像幾乎所有那些與他差不多時間留校的同事一樣，已過了不惑之年的顏老師還繼續揹着“講師”的包袱。因爲“文革”的原因，大學教師的職稱評定工作凍結了十幾年。數學分析屬於“分析”學科，分析的對象是函數，一般來說，專搞函數論的老師最有資格教這門本科階段中最重要的基礎課了。系裡將這份重任交予專業只是計算數學的顏起居老師，肯定有充分的理由，或許他“程咬金的極限斧頭”玩得虎虎生風，在計算數學的老師中是分析功底最深之人；或者按照習慣，老先生們一般是不教大一大二學生基礎課的——這點中國應該向美國看齊——因此，即便研究實分析出身的何旭初先生分析功夫最最高強，我們也不能指望快六十歲的他來教我們數學分析這門課。

顏起居老師沒有辜負系裡交給他的重要教學任務。說“重要”，是因爲七七級是恢復高考後的第一屆大學生，是承前啓後的新一代。所以，可用一句古語來刻畫他：受命於危難之中。經歷過五屆工農兵學員的時期，大學老師們也渴望教到他們心目中經過高考正規入校的學生。顏老師教得特別高興，也教得十分認真。雖然我記得他的第一節課和第二節課的基本內容，但是大部分教學細節早已模糊不清了。我記得他的講課神態，也記住了他引用過的一些名人趣話，比如有次他引述了加州大學伯克利分校的數學教授項武義(Wu Yi Hsiang，1937-)說過的一句俏皮話：“任何一本書都是三頁一小錯，五頁一大錯。”項教授早在上世紀七十年代就步他的加州大學伯克利校區同系長輩陳省身(1911-2004)先生後塵，回到中國學術訪問加上探親，並於1979年由人民教育出版社推出了一本名爲“微積分大意”的書。顏老師巧妙地傳達別人的語錄，潛臺詞實際上是：不要迷信權威。因爲那時由於個人崇拜的慣性，我們習慣性地仰視學術權威，同時盡信書本。然而幾十年過去了，現在普遍還是迷信權威，盡信書本。

由於板書較多，顏老師常常要將兩塊大黑板上下滑動。因爲階梯教室很大，他要鼓勁發音，於是喉嚨用力、肩膀用力，雙力齊下，他的方臉上沁出細細的汗珠，坐在前排的學生完全看得見；天氣越來越熱，汗珠的直徑也越來越大，坐在後排的學生也看得清清楚楚了。那時，我們恨不能搬來一臺空調機，放在他面前的講臺底下，給我們的教書先生降降溫。顏老師深知，要讓學生理解一個特別難理解的數學概念一定要正過來反過去地反覆解說，所以他不厭其煩地解釋同一個定義的等價說法，直到程度較低的學生也能領會。在他的教導下，我們學懂了微積分，不光知道了“大意”，而且吸收了“精髓”。從上下確界到極限理論，從微分學基本定理到微積分學基本定理，經過顏老師手把手嚴格訓練，到了第二年從一元微積分推廣到多元微積分時，我們和微積分的雙邊關係也從“敵對國家”轉化爲“友好鄰邦”。基礎打牢後，第二年接手教數學分析的倪進老師也感到輕鬆許多。可以說，顏老師孜孜不倦、苦口婆心的教導，讓我們從分析數學入手，慢慢地登堂入室，跨進了被許多大學生視爲“地獄之門”的極限之門。

倪老師只從長相就能猜測是南方人。他可能是江蘇人，也許是常州人。他在南京大學教書幾十年，一直與在常州工作的太太兩地分居，直到我們大學畢業時他纔好不容易調到位於常州的江蘇化工學院（現常州大學），從此結束牛郎織女的生活。那時的戶籍制度非今日青年所能想象。從而他的一生比起顏老師來，除了職稱之外，還多了一項苦衷。這在西方人看來是最不可思議的苦衷。他畢業於復旦大學數學系，這個系自從1952年全國高校院系調整後在名聲上一直蓋過南京大學，大概只服北京大學數學系，那是早先任教浙江大學的蘇步青(1902-2003)在二十世紀五十年代後的上海建立的數學王國。倪老師白白的皮膚，勻稱的身材，矮矮的個子，他帶來了比他更矮，在女性中也偏矮的王巧玲老師，來接替計算機科學系的蔣新兒(1941-2000)老師和他搭檔，教我們的習題課。

這位胖乎乎的王老師實在是太兇了，但不是待人處事方面的兇，否則可能沒有哪個男知識分子敢娶她，她的“兇”是體現在數學的教學上。第一次給我們上數學分析習題課，她就狠狠地將了我們全班大大小小一軍！那天恰好是今日中國人早已知道的西方情人節。要是王老師及時知道這天“只應送玫瑰，不應板起臉”，我班的歷史就沒有現在這麼閃光了。我在當天的日記裡忠實地記錄了我的觀察：

那天，我還不知道王老師的全名，所以只記下她的姓。被將軍後，我們幾乎所有人都想留級到還沒進校的七九級重學極限理論，因爲只比我們遲半年入學的七八級學生已經啃光了極限理論。那一次我沒有被她叫起來回答問題，但是坐在教室後面的田剛卻被她叫了起來。她問了一個刁鑽古怪的問題，居然一下子把田剛問倒了，站在那裡羞得滿臉通紅。我想，後來的幾十年田剛之所以拼命用功，大概就是因爲這一次被王老師當衆出醜之故。

輪到我被王老師喊起來回答難題，已經是她教我們五十天後的事了。日記上也記得驚心動魄：“習題課，我第一次被提問，使我猝不及防，雖圓滿回答，仍忐忑不安。”二十多年後，借母校百年校慶東風，我們同班同學畢業二十週年聚會。我有幸同王巧玲老師合影，同時沒有忘記問她爲何第一堂的習題課對田剛“下重手”。她笑着給我們解開了這一“千古之謎”：是田剛的母親教她這麼做的。用心良苦的田媽媽王明淑(1931-1984)老師生怕兒子驕傲自滿，故步自封，便心生一計，授意她的本家妹妹兼同事王巧玲老師殺了一下兒子的威風。所以田剛功成名就的歷史記載中，不應忘寫這一段。可以說，王明淑攜手王巧玲的這一得意之作，勝過孟母三遷的教子典故。

我們的數學分析課第二年的主講老師倪進和習題課老師王巧玲，都是函數論教研室的骨幹，“分析”是他們的看家本領，他們教學上“一唱一和”配合得天衣無縫。但兩人的個性卻成鮮明對照，倪老師十分溫和，是個“笑面人”。請不要將這三個字的含義和雨果(Victor Hugo，1802-1885)的同名小說等同起來。我這裡用的完全是字面的意思：他每次進教室都是笑容可掬的，甚至在學生答錯問題的時候還是笑眯眯地請你坐下。我們從來沒有看過他發火，因爲他的火已經借給王老師發了。的確，第一次習題課後，我們領教了王老師的厲害，個個怕她。我在國外碰到的嚴師是我的博士論文導師李天巖(1945-2020)教授，他的嚴格要求讓他的弟子在九十年代初美國求職市場最困難的時期也能找到大學教職。但他的“嚴厲”也曾令他失去了一位聰明絕頂的學生，他爲此感到痛苦，甚至直到因病去世前依然沒有釋懷。不管怎樣，嚴師出高徒，我的母親對子女個個嚴格，我們都沒少捱過藤條的抽打，但是“不打不成人”。在我的大學生涯中，如果評最嚴厲的老師，冠軍應給王巧玲老師。我的日記中還有幾處提到過她，比如她接手習題課兩週後，我“埋怨”道：“數學分析習題課一下來，又是大堆習題。”同一年秋季學期，也就是我們上數學分析課的最後一學期，我如實記錄了王老師對我們班數學分析作業的評價：“我、老冒、倪勤坐在門外草坪上聊天。后王巧玲老師來了，說到我班的數（學）分（析）作業很糟，至少百分之七十隻能打三分。”果然不假，一個月後的數學分析測驗，全班有十個不及格，但也有兩個一百分，我則考了八十三分。這些數據都寫進了日記中，又加了一句：“我離上還差一距，須努力，不負衆望。”有這樣的嚴師，豈有不想努力之理？

“大學畢業的時候幾乎忘光了所有的公式，但是我學會了怎樣學數學。”

我們一進校就學的另一門課就是“三高”中的解析幾何，用的是北京大學數學系吳光磊(1921-1991)教授所著的兩本薄書《平面解析幾何補充教程》（與田疇(1937-)合編）和《空間解析幾何簡明教程》，學時爲一學期。第一部分是高中所學《平面解析幾何》的精細化和一般化，一個月就學完了。然後我們要從平面進入空間，從二維跳入三維。我們本身就生活在自然界的三維空間裡，見到的都是立體形狀，所以“立體”解析幾何更重要，對第二年所學的多元微積分直接有用。我們的授課老師王永成(1939-)最適合教這門課了，因爲他在全系老師當中身材最魁梧，體積最大，而體積正是三維幾何的度量對象。王老師身體的體積得益於他的高個頭，全身橫向尺寸與縱向尺寸比例適中，恰到好處。我看過李前寬(1941-2021)、肖桂雲(1941-)夫婦爲新中國成立四十週年而拍攝的獲獎電影《開國大典》，覺得王老師當年的形象很像扮演毛主席的百花獎最佳男主角得主古月(1937-2005)。

雖然氣魄與偉大領袖毛主席不能相比，王永成在數學系書生中卻是最有氣場的一個。他與蘇煜城教授一樣，也是揚州市區人，但小了蘇先生整整十二歲，也比顏老師年輕三歲，所以王老師講話的中氣和他的體格一樣，遠遠壯於顏老師。還未到不惑之年的他，4月17日一跨進我們第二批錄取者上第一節課的教學大樓201階梯大教室，面對差不多一百二十個的大一新生，就以大嗓門把我們的精神向上一提。他開講時的第一句話就是“這門課是我第一次講授，也是我第一次上講臺”。看來他更年輕的時候沒有機會上講臺“表演”，因爲他1962年才從本系畢業，在師資中算是一個小字輩的人物。

但是，第一次教書，他就“表演”得棒極了，語言風趣，聲情並茂，手舞足蹈。如果說顏老師的面容有點深沉，舉止略爲古板，他看上去則紅光滿面，性情奔放。我估計一個原因是顏老師的家累較重，上有老下有小，收支平衡需要他精打細算。那時大學教師普遍清貧，即便何旭初先生這位全國最早的博士生導師之一，按照沒有教過我課的王嘉鬆老師在美國一次開會相遇時對我所說的，“是一輩子喝稀飯的”。這句話被我寫進了《紀念何旭初先生》一文中，於南大校慶百年時發表在2002年5月22日的南京《揚子晚報》上。

今天，王永成老師教書的細節我早已忘光，但他在某次課上所講的一句話我從來沒有忘記：“我大學畢業的時候幾乎忘光了所有的公式，但是我學會了怎樣學數學。”這句話很有道理，和獲得菲爾茲獎的日本代數幾何學家廣中平佑(Heisuke Hironaka，1931-)所強調的“讀書的目的是獲得智慧”一樣都是智慧之語。在一本書《天南地北揚州人》中，有一篇文章就是介紹王永成的，我在那裡讀到他當年在南京大學唸書時是怎樣刻苦學習的事蹟。我能讀到這本書，只是因爲該書有一篇文章寫了我，寫我大概是由於我在海外當了教授，作者的拔高之語讓我不安。王永成老師是值得寫的，因爲他在計算機的應用研究上貢獻不小，另外，他教過的學生中有不少成就非凡；而我在美國教書幾十年，沒有教出幾個像模像樣的好學生。

另一件關於王老師的往事被我記在了日記中：1978年7月6日的解析幾何課——我們第二批錄取者終於趕上進度，與第一批錄取者第一次同上這門課，大踏步走上講臺的他像京劇《紅燈記》中的王連舉那樣手臂負了傷，只不過傷的是右手。但是他“輕傷不下火線”，依然來教書。這個班一下子是兩個班的並集，大教室擠滿了人。同學們都目睹了他左手在黑板上寫字的風采，見證了他繼承江蘇書畫大家費新我(1903-1992)的“右手殘廢左手揮毫”的大無畏精神。我那晚記下了這件事，是因爲他的負責精神感動了我。有什麼樣的老師就會教出什麼樣的學生，我班後來也在大學教書的那幾位同學就繼承了王永成老師的這種精神。一個典型的例子是：三十九年後，黃衛華任教班上的一位女學生在朋友圈發了如下的文字：“今天不知道爲什麼聽了黃衛華老先生的微積分心情這麼好……能遇到這麼樸實、嚴謹、認真、有師德的老教授是一件很幸運的事。”接下來的一句證明我的同學完全繼承了老師的衣鉢：“老師腳腕摔折了，今天走路都還困難，堅持全程站着上完了課，下課還留在教師休息室答疑。”

當然我的日記也記下了另一件事，因爲它和我有關。那是我進大學後第一次考試，科目就是解析幾何，時間是五月的最後一天。這是一次具有紀念意義和現實意義的考試，那時我想如果考不好就捲起鋪蓋回我的原工廠算了。我在6月9日的日記中寫道：“解析幾何測驗90分以上公佈名單，有我一個，可能是99分……計算數學平均分爲92，計算技術平均分爲91，電子班平均分爲80多。”感謝王老師，讓我增加了自信，繼續奮鬥！

王永成老師和比他名氣更大的另一個王家的後代——王選(1937-2006)，都是計算數學專業的優秀畢業生，也都把自己的數學頭腦用在了技術科學上。王永成老師後來調到工程名校上海交通大學從事計算機檢索系統的研究，這符合他當年給我們留下深刻印象的個人風格，但是他也非常自豪於他曾經教出傑出理科學生的光榮歷史。他的名字就意味着他會有永久性的成功之感。2004年，他不無自豪地告訴中文讀者，當年他所教過的學生中就有如今的世界著名數學家田剛。他說的一點不錯，我想田剛也完全認可。田剛輝煌幾何人生的起點就在解析幾何，啓蒙人是王永成，而最終落腳於幾何分析，指路人爲菲爾茲獎獲得者丘成桐(1949-)，然後成長爲微分幾何新一代的領袖級人物。有趣的是，在幾何這門關於形狀的學問中，田剛的一始一終二師，不僅身材都是一樣的高大魁梧，連臉型的形狀特點也都基本一致，只不過年齡上差了恰好十歲。

“三高”中的最後“一高”一般叫高等代數，但是我們學這門課時的課程名稱是線性代數，可能後者更適用於計算數學。線性代數的主要工具是矩陣，而矩陣計算貫穿於計算數學的各個部門。學完了解析幾何，第二學期，即1978年的秋季學期，我們立馬修了線性代數，用的課本是何旭初教授親撰的同名教材，這是他率領計算數學教研室一班人馬爲全國高校快速編寫的“計算數學講義”（共九本）中的第一本。這九本書，全由科學出版社及時出版，影響深遠。書的開本都不大，也不很厚，優點是便於攜帶，不像當今美國大學生使用的低年級教科書，又厚又重。但這些薄書的缺點也很明顯：寫法太精煉，不易理解。這第一本基礎教材還有另一缺陷，一些線性代數的重要概念竟然沒有提及，比如抽象線性變換的一般理論和矩陣的若爾當標準型。所以許多人借來或買來本系近世代數權威周伯壎(1920-2009)先生的《高等代數》或北大代數教研室集體撰寫的同名教材，甚至唯一採用形象化術語“高矩陣”的吉林大學謝邦傑(1923-1998)教授的那本藍皮書《線性代數》也被作爲輔助讀物以擴大高等代數的知識面。閱讀參考書是我班同學的普遍行爲，只不過有的人只讀了與課程相關的參考書，而另一部分人讀的參考書包括非課程所需的讀物，可以稱爲“課外書”了。

線性代數課的任課老師林成森(1937-)也是一個高個子，身材雖清瘦，發音卻比胖於他的顏老師洪亮得多，吐字也十分清楚。聽他的課，不會聽不清他的漢字發音，不像曾經教過某門課習題課的一位老師，喉嚨裡發出的全是濃重的家鄉口音。然而，最讓學生滿意的是，他不光中文字發音清楚，語調抑揚頓挫，而且新出場的數學符號也解釋得比水晶還一清二楚。他的課如果聽不懂的話，只能問自己的腦子是否要動個小手術了。當時我們的教科書還躺在印刷廠的車間裡待印，開學後兩個月才發到我們的手上。這就給了林老師一個千載難逢的機會，充分展示他那卓越的演講本領，學生不必再看書就能領會。如果他在北美拿到博士學位的話，只要沒有英文障礙，找個數學系的教職易如反掌，因爲美國絕大多數的高等院校，尤其是那些私立的人文學院，聘教授的第一要素就是“好的教書匠”。我在國外聽過課的所有華人教授中，論講課的口才只有一人能和林老師相比，他就是我的導師李天巖教授，我在2021年秋出版的書《走出混沌：我與李天巖的數學情緣》中對他有過課堂表演的幾筆素描。

林老師給我留下的深刻印象，除了教書的藝術外，還有他系在脖子上的那條破舊圍巾。秋季學期一開學，氣溫很快就成遞減函數了。我不記得哪一天林老師的圍巾上了身，但肯定已是下半學期了。只見他上身披着一件藏青色的破舊短大衣，敞開着鈕釦，同樣簡陋的圍巾繞着高高的脖子旋轉了兩圈，讓我好奇的眼光聚焦在與大學教師身份似乎不太匹配的裝束上。我在書中看到的那些民國教授，哪個不是西裝革履，器宇軒昂？除了學問最大的陳寅恪(1890-1969)教授一襲長衫在身，不過那是他獨特的個人風格。林老師穿得比我們大多數學生還要寒酸，但是他的大腦裡貯存着的是比當時的我們不知多了幾倍的知識！我真恨不得建議林老師將他名字中間的那個字去掉，借用一下辛亥革命元老林森(1868-1943)的大名，過上理應得到的體面生活。如果早故的林森老人那時還活在大陸，中華人民共和國的政府一定對他客客氣氣，奉爲上賓。在那個“搞原子彈不如賣茶葉蛋”的“腦體倒掛”時代，大學裡像顏起居老師、林成森老師這樣的“貧下中師”比比皆是，但是他們中的絕大部分兢兢業業地甘當園丁，不求富貴，更沒有怨聲載道。

二十世紀九十年代，我有次回南京，專門去了林成森老師家中看望他，那時，老師們還基本住在他們已經住了幾十年的學校教工宿舍裡。他家就住在南園的東南一角。林老師家中的擺設比西南聯大時代聞一多(1899-1946)家的破舊傢俱好不了多少，但是他和聞先生一樣雙眼有神，精神昂然。我坐在僅有三條腿的舊沙發上，他和我談起了他已寫好將要出版的教科書《數值計算方法》。看着他深邃的目光和濃濃的眉毛，我眼前浮現出十五年前他在講臺上揮舞雙手，握在右手的一支粉筆在空中劃過，向我們揭秘最小二乘法寶藏時滿臉激情的樣子。

下一門課應該是常微分方程了。“方程”是我們從學初中代數就開始熟悉的基本概念，它是任何運算的孿生兄弟。有了代數運算，代數方程就接踵而至。其實小學生學了加法後再學減法，實際上就是學解方程，5 – 2 = 3歸根結底就是解方程x + 2 = 5的結果。所以整個數學分析的兩年課程還沒有上完，系裡就迫不及待地讓我們學解微分方程了，因爲我們已被武裝了一元微積分的“軍備器械”。但是，系裡派來的耍弄這些“大刀、闊斧”的教官並不是拿破崙(Napoléon Bonaparte，1769-1821)式的叱吒風雲的軍事統帥，而是一個私塾先生式的老學究徐鴻義(1932-2011)先生。徐老師的風度很像陳省身清華碩士導師、南大二級教授孫光遠(1900-1979)那樣的老教授，一副光圈比我班高考數學全省第一的魏木生那副還要多上幾圈的眼鏡更顯示出他的滿腹經綸。但他卻依然還是一個老講師，因爲他沒有“老”到像何旭初先生或唐述釗(1922-2016)先生那樣的民國大學畢業生，所以在講師的路上慢吞吞地走了許多年還沒走到盡頭。與他慢吞吞的講師路相一致，他在課上講話的速度也是緩慢的，語氣不疾不徐，音調不高不低，個性溫文爾雅，臉上從無怒容，板書一絲不苟。這種或許是由“文革”訓練成的好脾氣正合我們的胃口。據西方的教育家們說，在沒有壓力的環境中最能讀好書。我們很悠然自得地和徐老師學會了怎樣填充微積分的“槍炮彈藥”，破解各式各樣的微分方程。

那時，正好是神色威嚴的王巧玲老師掌控我們的數學分析習題課，徐先生和王老師恰恰形成鮮明的對比，我們路上見到後者要躲，碰到前者不怕，甚至走上前去問一聲好。我們的問候讓徐老師滿面春風，光圈後面的雙眼發出更多的光來。我們喜歡他到了甚至可以開開他的習題課老師玩笑的程度。系裡配給他的這位習題課老師，面對的學生中有他應該喊大哥的那幫老傢伙，自然有點膽怯。有次他講爲求狗追兔子的追擊軌道而建立相應的微分方程，卻緊張得寫不出“兔”這個字，於是他思索了好一會是不是應寫成“免”而丟掉兔子的那根短尾巴。他實在是個數學系纔會有的書呆子，其實從黑板上擦掉那個字也沒人管，但他站在那裡動也不動，硬着頭皮死想，任憑下面那幾個喜歡看笑話的人喝倒彩。這大概是一位教書先生感到最沒臉面的一件事了。其實，即便大學校長，比如那個中國人民大學甚至清華大學或者北京大學的最高行政長官，不也鬧過比這還要可笑的笑話嗎？那一天台下的善意鬨笑，說到底還是徐老先生對我們太客氣了。如果王巧玲老師主講這門課，誰敢在太歲頭上動土？

常微分方程學完後，偏微分方程粉墨登場。這回，在莫斯科大學柳斯捷爾尼克(Lazar Lyusternik，1899-1981)教授門下獲得副博士學位的蘇煜城先生親自教導我們了。他應該是真正的“揚州名人”，卻無理由地沒在《天南地北揚州人》中露面。我在1979年9月4日第一節課後的日記中記載了他留給我的好印象：“偏微（分方程）課上，蘇煜城老師關於此課的導論很吸引人。”我在以前的文章中寫道，“他站在講臺上，就像是運籌於帷幄之中的元帥，講解與板書一樣從容不迫、行雲流水，滿腹的知識在他的嘴邊結晶成藝術，聽他上課真正是數學的美妙享受。”但是，“長期體弱的蘇先生在課堂上‘週期性’地不時上提褲腰帶，只是因身體欠佳皮帶不能繫緊之故，成爲課堂美景中的一道小小風景線，更提升了所有的學生對他的敬佩之度。”

雖然體質不好，蘇先生卻有長壽基因，他出生早我母親一年，都享年九十多歲。一位我熟悉的年輕的數學史專家王濤博士，爲了撰寫南京大學的計算數學史，在蘇煜城教授九十週歲那年採訪了他。王博士寫道：

有了前兩年打下的數學分析基礎，三年級的第一學期，我們從“實在的疆場”進入了“虛幻的世界”——複變函數。小巧玲瓏但內容豐富的教科書，出自武漢大學教授餘家榮(1920-2020)之手，它於1988年榮獲國家教委頒發的高校優秀教材一等獎。三年以後，作者又獲得法國政府授予的法國棕櫚教育騎士勳章。我們不僅選對了課本，還選對了人，因爲餘先生就是中央大學1944年的畢業生，是我們的前輩學長。我們以前只知道蘇步青先生的弟子谷超豪(1926-2012)五十年代在蘇聯獲得“科學博士”學位，而其他留蘇學生頂多戴了頂副博士帽子歸國，這已經等價於美國博士了。但餘家榮於1947年10月留學法國，不到三年時間，於1950年6月以“最優”的評語拿到與谷博士的最後學位等價的法國國家博士學位。三十五年後，把餘教授的《複變函數》讀透了的我班同學王雪平效仿先賢，用了差不多一樣神速的時間，將另一頂法蘭西“國家博士”學位的帽子戴在頭上。

王雪平的成功某種程度上也歸功於何澤霖老師的課堂教學。何老師長得一表人才，身材勻稱，面相慈善，菩薩心腸，與他那四平八穩的講課語氣相得益彰。系裡沒有讓他教我們的大班解析幾何，理由就在這裡。他溫和的好脾氣不適宜對着寬大的教室大喊大叫。所以四十八個好學的青年就被這個溫文爾雅的中年人輕輕地帶到了復變量的奇妙世界。

剛開始，我們一片歡呼，以爲複變函數太容易了。你看，只要將過去學過的數學分析中的變量改寫成，什麼極限、導數、冪級數、定積分瞧上去一模一樣，這門課不就是複習嗎？個別同學甚至都想退掉這個不慌不忙的教書先生的課了。且慢，這就是何老師的魅力所在。他仔細而清晰地向我們演示，爲什麼在任何一個開區域內可求導數的複變函數居然可以無窮次可導，進而還可以表示成一個冪級數，而這個奇妙的性質對於實變函數而言完全是可望而不可及的。看來複數要比實數好玩多了，事實上也難玩多了。如果你打開美國已故數學名師盧丁(Walter Rudin，1921-2010)三本分析名著中的第二本《實複分析》(Real and Complex Analysis)，你就會知道書後面部分的複分析中的難題有多難。

就這樣，經過何澤霖老師詮釋的餘家榮先生的小書，大大地提高了我們對於現代數學的認知；通過從他那裡學來的柯西積分公式，我們開始隱隱約約地感覺到拓撲的影子；從定義域爲單連通開集的解析函數在區域內簡單閉曲線上的積分爲零這一令人驚奇的事實，我們彷彿也懂得了爲何人類的部分成員，無論採取何種方式，總能爬到社會的某個固定階層。可以說，現代數學就是關於複數的數學，比如代數幾何或複流形理論。這股在我們班內逐步瀰漫的現代數學氣息，就是從何老師那個源頭飄來的。一個平時不大吭聲的數學才子，也被他的火眼金睛發現。整整一學期，我在班上唯一聽到的何澤霖老師公開表揚的學生，就是現已在法國當了三十三年半正教授的王雪平。

按照慣例，先學“復變”，後學“實變”。實變就是實變函數的小名，它一般被認爲是數學系本科階段所有必修數學課程中最難啃的一門課，但是我們聽說，現代數學的基本語言是用實變函數論的語法寫的。比如說，無論是理論研究偏微分方程還是實際計算這些複雜方程，實變函數中的勒貝格積分理論就是基本的工具。下一學期，給我們上最難的這門課的人，就是我們在大二階段怕得要死的王巧玲老師。奇怪的是，我記憶中她的“凶神惡煞”一去不復返了，“慈愛母性”重又回到她的身上。唯一的解釋只能是，經過她一年多前的嚴厲調教，我們就像六十年代初總參謀長羅瑞卿(1906-1978)大將指揮的大比武后的軍隊，已經百鍊成鋼了。王老師喜在心頭，自然也不加掩飾地喜上眉梢。但是，她對我們還繼續保持着嚴格要求。除了正統的教科書外，蘇聯數學家那湯鬆(Isidor Natanson，1906-1964)的經典教材《實變函數論》上下兩冊就是我們愛不釋手的最佳參考書了。“那湯鬆”這個名字或許現在的數學系本科生有點陌生，但是他的兒子也當了數學教授，後者指導過的一位優秀的猶太裔女大學生由於忙結婚而誤了讀研究生，卻生了一個天才的兒子，名叫佩雷爾曼(Grigori Perelman，1966-)，有關他的“龐加萊猜想”故事大家應該都知道了。

講到現在，說的全是基礎課的故事。難道我們從大三就開始修的計算數學專業課就沒有故事了嗎？別忘了我們專業的老師們寫出的那套“計算數學講義”共有九本。當然故事很多，但我只能把它們濃縮成壓縮餅乾，否則這一篇文章就要寫成一本書。大學前兩年，我們已經學完了九本中的三本基礎，即《線性代數》《常微分方程》《偏微分方程》；後兩年，我們通過剩下的六本，一步步地掌握了計算數學的看家本領，它們包括《數值逼近方法》《線性代數計算方法》《常微分方程數值解法》《偏微分方程數值解法》《概率統計基礎和概率統計方法》《最優化方法》。同時，系裡爲我們開設了不少選修課，如抽象代數、初等拓撲、圖論、微分幾何、泛函分析、微分方程定性理論、樣條函數、有限元方法等。班上同學像“文革”中的羣衆組織那樣自然分成了兩派，一派效忠本專業，屬“保皇派”，繼續修與計算數學有關的專門課程，這一派聲勢浩大，包括聚集了所有的九名老三屆和九名女同學；另一派則以王宏玉、田剛爲首，是“造反派”，他們選擇了純數學作爲一生追求。直到大學畢業那年考研究生前夕，我還是個舉棋不定的“逍遙派”。說句心裡話，我偏愛純粹數學，喜歡動腦子勝過喜歡動雙手，若非聽從一位重視應用的南大教師的建議，我就去考泛函分析的研究生了。因爲在我看來，我修分析課程拿“優”的概率遠遠大於那些計算方法課程，每次考試我交卷都比較早，但對某些不難但繁的計算課程，無論做習題還是考試，我本事都不太大，缺乏耐心。於是，我的專業課成績儘管沒有“不及格”，但幾乎沒有攀上“優”，大都在“良”和“中”之間輪流坐莊，還有個別“及格”。這些都可被我帶出國的本科成績單證明。多年後，當我聽說我的師爺約克(James Yorke，1941-)教授的大學成績單上的記錄比我還要差上幾倍，幾乎一個A也沒有，也“沒有B，全是C或C以下”，我這才稍微原諒了自己一點。而我的複變函數、實變函數這兩門分析主課，都學得比較主動，成績自然都是優，線性代數還考了滿分。然而，最終我還是報考了計算數學的研究生，或許是我的“線性代數”成績說服了我不放棄“計算數學”。

專業課的那些老師，雖然教書技巧各有千秋，講課方式各有特點，但都有一個共性，那就是毛主席所說的“世界上怕就怕認真二字”。他們的書真是教得特別認真。不像現在，大學教師必須要發表論文才能提職加薪，一心寫論文有可能就沒有心思教書了。那個年代，因爲經濟落後，紙張供給都有困難，於是大家就無需寫文章而浪費白紙；而現在的部分論文可能真是浪費打印機的紙墨，像田剛、魏木生那樣寫成的傳世之作不是很多。一旦教師把教學視爲天職，再不會教書的也會讓學生感動。我還記得教我們數值線性代數的沈偉良老師，一講到“鏡像反射”的反射矩陣（亦稱Householder變換），就激動得眉飛色舞，把我們的情緒也調動了起來。

在所有這些專業課中，我對吳啓光(1933-2023)老師的偏微分方程數值解印象最深。他那字正腔圓的標準發音，熠熠生輝的粉筆板書，都爲他無懈可擊的課堂教學如虎添翼。吳老師的黑板字寫得大而優美，即便終生視力不佳的法國大數學家龐加萊(Henri Poincaré，1854-1912)也會願意來上他的課，看清黑板後並會問一些關於差分格式穩定性的問題，因爲他一百四十年前就已探索過關於地球、太陽和月亮形成的三體問題的“穩定性問題”。吳老師的磁性聲音具有貫穿力，如果他跟別人煲電話，對方肯定不願放下話筒。所以，上他的課無論對視覺還是聽覺都是極大的享受；當然對頭腦也是如此，因爲我們聽得明明白白，下課後甚至都不需要複習了。後來班上的二老二小——尹光炎和沈錦仁、劉必躍和盛秦——報考了蘇煜城先生和吳啓光先生的碩士研究生並被錄取，或許就是被他們兩人的講課藝術吸引過去的。

“憶往昔，崢嶸歲月稠。”四十多年後追憶這些令人感嘆的“傳道授業”往事，有些當事人已成故人。教過我們課的老師中，按時間順序，顏起居、徐鴻義、倪進、蘇煜城、吳啓光先生已經離開了我們。我們系當時的幾任系主任，如葉彥謙(1923-2007)先生和周伯壎先生，都已靜靜地長眠於地下。我們專業的創始人、一級教授曾遠榮(1903-1994)先生，於九十一歲的高齡仙逝，而南京大學計算數學的領軍人物、我的碩士研究生導師何旭初先生，不到七十週歲就因病去世。剩下的大多數老師都已進入垂垂老矣的晚年。在我班同學紛紛步入花甲、古稀之歲的這幾年中，我們常聞昔日師長謝世的消息。五年前去世的原數學系副主任周樹棠(1937-2018)老師，是七七級高考我係錄取老三屆何炳生的關鍵人物，也是何炳生第一個通知我班同學羣這個噩耗的，他們做了二十年的鄰居。

我將《一個時代的懷念》中的倒數第二段借來，結束對我班授課老師們的深情回憶：

完稿於2024年2月27日星期二美國哈蒂斯堡夏日山莊