走近數學世界 培育數學素養（開卷知新）

席南華

製圖：沈亦伶

數學是一個極富魅力的世界。在人類認識自然、追求美好生活的過程中，數學發揮着重要作用。雖然不懂數學也能過得很愉快，但具備一定的數學素養，能幫助我們更好地認識世界、理解世界、欣賞世界。

數學，古老又年輕。在信息時代，數學的重要性與日俱增，展現出前所未有的活力。推動數學發展的，既有大量未解決的舊問題，也有社會科技發展涌現的新問題，從事數學研究和應用的人數也在不斷增加。

數學的內涵是什麼

數學研究量與形，量與形是物質的基本屬性，這決定了數學的價值和意義。經過幾千年的發展，數學已經成爲一個龐大的學科，通常分爲基礎數學(即純數學)和應用數學兩大部分。基礎數學又大致可分爲代數(含數論)、幾何(含拓撲)、分析數學(以微積分爲基礎)等。

毫無疑問，數的起源是計數，也就是數物品。開始時，人們對數的觀念與具體事物聯繫在一起，比如一棵樹、一塊石頭、兩個人、兩條魚等。逐漸地，人們發現一棵樹、一塊石頭等具體事物共同的數字屬性，數的抽象概念就這樣形成了。

產生數的方式是無窮無盡的，量的比值是數，面積是數，體積是數，溫度是數，時間是數……今天我們能強烈感受到數字化的影響，其實數字化很久以前就有了，如門牌號、車牌號、車次等。數字化的本質是編碼，賦予數字以含義。例如一幅照片的數字化就是把照片分成很多小方塊，每一個小方塊看作一點，用三個數字表示其紅綠藍的成分。所謂像素就是這樣的小方塊的個數，像素越高，表明數字化做得越精細。重要的是，數字可以運算，經過數字化後，照片也就可以通過數學的手段進行變化了。

數，有無窮的魅力、奧秘和神奇，始終吸引着最富智慧的數學家和業餘愛好者。研究數的分支是數論，這一領域一直很活躍，近年來取得巨大進展，包括費馬大定理的證明、孿生素數猜想的突破、朗蘭茲綱領的進展等。素數是數論研究的一個永恆主題，其神秘的結構和規律始終挑戰着人類的智力。

形是數學分支幾何關注的對象。這個世界充滿了各種各樣的形，藍天、白雲、青山、流水、高樓、動物、植物有各自的形，它們都富有美感、令人愉悅。公元前300多年，希臘人歐幾里得採用公理化體系，系統整理了古希臘人的數學成就，寫成了《幾何原本》。在以後2000多年的歷史中，它都是一部標準的教科書。一直到19世紀，人們都相信這種幾何準確描述了我們這個世界。但是，非歐幾何的出現讓人們知道幾何原來可以有很多種。這立即帶來一個問題，哪一種幾何能正確描述我們這個世界的空間呢？廣義相對論說我們生活的空間是彎曲的，需要用黎曼幾何描述，弦論則認爲我們的時空是十維的。

現實空間遠比歐幾里得幾何中的空間複雜。當把幾何理解爲一種結構，就擺脫了幾何是現實空間的抽象這個限制，幾何的內涵會變得異常豐富和遼闊。很多對象都出人意料地有非常好的幾何結構，如一個空間所有過原點的直線全體的幾何結構就是射影空間。

現實世界日新月異，充滿變化。微積分就是研究變化的數學，基本概念有極限、微分和積分。微積分及在其基礎上發展起來的分析數學，成爲認識和探索世界奧秘最有力的數學工具之一，爲數學帶來全面的大發展。

求解方程一直強有力地推動數學的發展。剛開始是多項式方程，在探究多項式方程的過程中，代數數論、代數、代數幾何等分支產生了。微積分出現後，微分方程也就自然出現了。求解微分方程在數學中非常重要，因爲大自然的很多奧秘是通過微分方程呈現的，著名的有描寫流體運動的納維—斯托克斯方程、描寫電磁運動的麥克斯韋方程、廣義相對論中的愛因斯坦場方程、量子力學中的薛定諤方程等。

應用數學和數學與其他學科的交叉

應用數學是數學的重要組成部分。在20世紀以前，雖然很多數學工作與實際應用密切相關，但應用數學這個名稱用得很少，並沒有形成特別有影響的獨立分支。進入20世紀後，應用數學快速成長，出現了計算數學、運籌學、控制論、組合數學、博弈論、信息論、數理統計等多個應用數學分支。計算機的出現進一步推動應用數學發展，還產生了很多交叉方向，如計算機數學、人工智能等。生物科學的迅速發展也涌現很多數學問題，現在有生物數學這一交叉分支，它關注的是用數學模型理解生物現象。物理一直是數學發展的強大推動力量。在20世紀，數學物理成爲數學的一個重要分支，在過去幾十年間非常活躍，成果顯著。它主要關注規範場論、量子場論、弦論、統計物理等領域的數學問題。

我們現在非常強調交叉，原因在於不同學科其實是現實不同側面的反映，只有結合起來，我們才能對現實有更全面的認知。就像“盲人摸象”，每個學科可能只摸到一個局部、一個側面，把所有的部分合起來，纔會形成完整的“象”。在不同分支、不同學科交叉的過程中，數學也在不斷產生新的概念、方法、理論等。

如今人類社會正步入人工智能時代，數學在其中起到的作用更是基礎性的。計算數學、優化、統計等數學分支發揮突出作用，數論、微分幾何等更多數學分支也不可或缺。人工智能也有力促進了數學的發展並提出很多極具挑戰的數學問題，其中之一是人工智能的數學基礎，如面向大數據的統計學基礎、人工智能大模型的數學機理等。

培育和提升大衆數學素養

在現代社會，數學素養已經成爲公民的基本素養，世界各國都非常重視。數學有助於培養人的邏輯推理能力，因爲數學的大廈是通過邏輯支撐的，邏輯把數學不同的內容組織在一起。當然，數學中的邏輯主要是演繹和歸納，是形式邏輯，現實的邏輯要複雜得多，僅有形式邏輯是不夠的。

對學習數學而言，尤爲重要的是獲得數學思維。掌握了數學的思維方式、知道怎麼考慮問題等，比單純獲得數學知識要有價值得多。數學直覺是數學思維的重要組成部分。歐拉解決哥尼斯堡七橋問題的思維可以說是數學思維的典型例子，歐拉把陸地抽象成點，橋抽象成線段，從而揭示問題的數學本質，進而解決問題。

培養數學素養，最好還能瞭解數學的發展史，它能幫助我們深入認識數學。從數學史中我們可以瞭解到數學的發展歷程一點都不枯燥，雖探索艱辛卻充滿了有趣的故事、生動的人物、引人入勝的例子。比如，數學史上關於數與形的觀念變化就很有意思，無理數、負數、虛數都經歷了一個漫長曲折的接受過程。

理解數學符號體系的意義也很重要。恰當的符號體系價值巨大，數學發展史上經常出現記號與數學理論進展密不可分的情況。萊布尼茨在微積分中引入的記號就是一個典範。在16世紀以前，幾乎沒人考慮過在代數領域系統使用符號，致使代數發展緩慢；16世紀法國數學家韋達在這方面作出了突出貢獻，此後代數思想才得以更有效地表達。

在數學的發展過程中，很多數學家的哲學觀也產生了深遠影響。畢達哥拉斯學派認爲“萬物皆數”“數統治着宇宙”，柏拉圖學派認爲“純粹思想的最高形式是數學”，高斯說“數學是科學的皇后”，等等。這些觀點對科學文化有巨大影響，很多傑出的科學家，甚至人文學者對數學都有一種敬畏。數學家研究數學時的心理活動和背後的出發點同樣很有意思。比如，笛卡爾創立解析幾何(即座標幾何)與他的批判精神是分不開的。他說：“我決心離棄僅有抽象的幾何，即僅爲練習頭腦設立問題的幾何；這樣做，是爲了研究另一種幾何，旨在自然現象的解釋。”

好的科普作品對提高大衆的數學素養非常重要。許多國家都重視數學科普，除了專門的科普工作者，還有很多傑出的學者也投身其中，推出形式多樣的高質量科普作品，讓大衆覺得數學有趣、可親，沒那麼神秘，可以爲普通人所理解。這方面我們還有提升空間。

(作者爲中國科學院院士、中國數學會理事長)

推薦讀物：

《大哉數學之爲用——華羅庚科普著作選集》：華羅庚著；上海教育出版社出版。

《認識數學》：席南華主編；科學出版社出版。

《悠揚的素數》：馬庫斯·杜·索托伊著，柏華元譯；人民郵電出版社出版。

《什麼是數學——對思想和方法的基本研究》：R·柯朗、H·羅賓著，I·斯圖爾特修訂，左平、張飴慈譯；復旦大學出版社出版。

《 人民日報 》( 2024年08月27日 20 版)