一些有趣的無理數

在廣袤的數學世界，一些重要的數字反覆出現，爲我們展現出不同領域的密切聯繫，引起我們的驚歎。這其中有一些整數是不足爲奇的，因爲畢竟相對於所有數字來說，整數太“稀疏”了，所以每個整數實際上都很特殊——甚至連這樣在數學家哈代眼裡乏味的整數也是特殊的——但是，無理數裡也有一些有趣的數字。

哈代與拉馬努金

不過，談到“無理數”的時候，你千萬不要覺得這是“沒有道理”的數，而應該理解爲“不能寫成兩個整數比值”的數，這是要牢記的。

一個重要的無理數就是圓周率。我們最初是在學習圓的時候遇到它的。這可能也是今天很多人遇到的第一個無理數——甚至在此之前我們連 都還沒有接觸過。每年的 月 日，喜歡數學的人們總要聚集在一起吃掉圓圓的餡餅，表示“已經把‘派（ ）’吃下去了”。

雖然 和圓密不可分，但是今天你見到這個數字如果只能聯想到圓，那可就不行了。至少，你應該知道它和一系列級數有關。稍微深入一點的話，你還應該知道它是一個“超越數”——它不是任何整數係數的多項式方程的解。嗯，證明這一點確實是很不容易的。

另一個常見的無理數是自然對數的底。數學江湖上長久地流傳着它的傳奇。但這部分是由於，咳咳，怎麼說呢？很多時候人們只是因爲不願意計算 或者 ，而把底數換成 而已。至少我是這麼認爲的，呵呵。和圓周率相同的是，也是一個“超越數”。

關於這個數的最有趣之處，就是所謂的歐拉公式：

指數居然可以是虛數，真讓人瞠目結舌。

第三個出場的是黃金分割，它是方程的解。這顯然是一個代數式了。已經有太多的文章介紹過這個數，我們這裡只介紹其中的幾點：一是這個數和所謂的斐波那契數列有密切的關係，而斐波那契數列在自然界分佈很廣；二是它不但和正五邊形有密切的關係，還和正十二面體以及正二十面體聯繫緊密。

黃金分割與正五邊形

黃金分割矩形

黃金分割螺旋

這裡我們要說一下什麼叫黃金矩形和黃金菱形，前者指的是長寬之比爲黃金分割率，後者則是對角線之比爲黃金分割率。顯然，後者是前者中點連線之比。

接下來我們繼續關注三角形。一種非常特別的三角形的三邊之比爲 ，顯然這是個直角三角形，非常經典，在正方體中就存在。這裡就有兩個無理數。

知道怎樣快速獲得這個角嗎？容易得很：拿出一張A4紙，沿着對角線對摺，就得到了這個三角形。這是因爲A4紙的長寬之比就是 。

圖中所示角的 倍就是 ，從正四面體的中心向它的四個頂點作連線，任意兩條連線的夾角即爲此值。也許你在生活中很少遇到正四面體？那麼你家裡做飯的時候是不是用天然氣取暖？天然氣的主要成分是甲烷，而一個甲烷分子是由一個碳原子和四個氫原子構成的，這些氫原子位於正四面體的頂點位置，碳原子位於正四面體的中心。在立體幾何裡，有一種特殊的幾何體叫做“菱形十二面體”（下圖中紅色頂點處的平面角即是此角，由於立體圖有一定的變形，有的角看上去像是銳角了），每個面都包含這個角度。不但如此，蜂巢的底部也含有這個角度。

菱形十二面體

來源：遇見數學

編輯：Decoherence

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