劉若川：數學還有哪些難題未解 哪一個是最重要的

本站科技訊10月28日消息，2017未來科學大獎頒獎典禮暨未來論壇年今天在北京舉辦，本站科技作爲戰略合作伙伴對未來論壇進行了全程直播。會議上北京國際數學研究中心副教授劉若川就千禧問題、黎曼其人等概念逐層遞近做了分享。

首先劉若川介紹了關於千禧年七大數學問題：關於理論計算機的P和NP問題，霍奇猜想、龐加萊猜想（已解決）、黎曼假設、楊－米爾斯方程、納維－斯托克方程，以及BSD猜想。其中黎曼假設可能是最重要也最古老的一個問題，至今尚未解決。

他將黎曼視作19世紀最富創造力的數學家：一生著述不多，但幾乎每一篇論文都是經典之作，在函數論、代數幾何微分幾何、數論等學科都作出了奠基性的工作。黎曼的工作對現代數學的形成與發展有極大的影響。

在應用上，例如黎曼幾何可以內蘊地理解雪山弧度的“彎曲”概念。黎曼可能是第一個人認爲人類所處的宇宙是四維的——加上了時間的概念，後來愛因斯坦在此基礎上提出了“相對論”，最終將這個意義表達了出來。

黎曼假設爲什麼是重要的？這是關於素數的猜想，一旦被證明成立，將對數學的發展有重要的推動作用，所以人們現在寧願相信他是對的。

以下是演講全文：

劉若川：非常感謝未來的邀請，我也很榮幸看到這個報告，報告的題目是講黎曼與黎曼假設，這是我報告的提綱，分爲四個部分，第一個部分我會介紹一下所謂的千禧年七大問題，剛剛孫教授已經提到過了，然後第二個問題我會介紹一下黎曼的生平，第三個和第四個部分是數學性部分，我會講得非常初等，我希望大家能夠領會他其中的涵義。

千禧年七大問題是什麼東西呢？2000年世紀之交的時候，有一個數學研究所，這是現在數學上非常有名的數學的機構，他的目的是能夠推廣數學，促進數學的發展。他在千禧年的時候找到了數學界最頂尖的數學家，他們選擇了七個問題，這七個問題代表了數學的各個方向上可能最深刻，最前沿的問題，比如說第一個P和NP問題，這是關於理論計算機的問題，可能很多人都知道，第二個部分是霍奇猜想，可能知道的人少了一點，這是代數幾何類的問題，我們大獎的得主許老師的專業就是代數幾何，第三個是龐加萊猜想，這是主持人提到的唯一的一個目前被解決的猜想，是被俄國的數學家（派而滿音）解決的，他的生平很傳奇，有很多的故事，我不講了，第四個是我們今天講的黎曼假設，關於數論的問題，第五個是關於楊·米爾斯方程，這個楊是目前中國非常偉大的物理學家，楊振寧教授在50年代關於非交換阿爾卑廠的工作，當然和米爾斯合作產生了這個方程，田老師應該是這個方面的專家。第六個是流體力學裡面的納維斯方程，第七個是BSD猜想，也是關於數論的猜想。

這七個問題，大家常說文無第一，武無第二，這七個問題沒有排序的，沒有說哪一個問題更重要，如果說數學家投票的話，這七個問題裡面一定要選出一個問題的話，我覺得有很大的機率是黎曼假設。我一會兒會講一下爲什麼人們覺得它非常重要，首先歷史上來看的話，黎曼假設可能是目前這幾個問題裡面最古老的，大概是19世紀50年代提出來的一個猜想，現在還沒有被解決。

我還想說一下楊先生，他是屬於非常懂數學的物理學家，曾經有一個笑話，數學數有兩種，一種是我看了第一頁就不想再看了，第二種是我看了一行就不想再看下去了。這個數學的學科發展了兩千多年，最近其實在加速發展，發展越來越快和其他的科學技術是一樣的，所以變得高度的技術化，在高度的技術化之後導致了他的基本思想很難被我們，比如說沒有經受過數學訓練的人所理解所欣賞，所以今天我們回到最原始的，最基本的想法讓我們看看數學裡面很重要，很漂亮的東西。

簡單介紹一下黎曼這位數學家，我稱之爲黎曼是19世紀最富創造力的數學家，因爲數學家裡如果說最，往往要有一些風險，這是我個人的意見，他實際上是一個出生在牧師家庭，他們家比較窮，他爸爸是比較窮的牧師，所以他從小就被家裡邊送去學習宗教，希望他將來也能當一個牧師，改善家裡面的經濟狀態，但是他在中學的時代就已經顯露出了數學上的天賦，他的天賦使他的老師非常驚訝，我記得有一個故事說有一次老師給他一本書，他一個禮拜就還回去了，說我已經看懂了，看完了。很有數學天才，家裡面的經濟原因，大學還是學宗教方面的東西，最終碰到了後面講的著名的數學家，我們叫做數學王子，高斯，高斯建議他還是要學數學，因爲天賦難得，後來家裡面也同意了，又改學數學了，他的生命不是特別長，大概活了40歲，因爲發生了普魯士和奧地利的一場戰爭，也是德國統一的時候打的最重要的一場原因，因爲戰爭原因逃到了意大利，最後死在了意大利。他的一生很短暫，文章也不多，十篇左右，每一篇可以說都是普通數學家有這樣一篇文章的話都是可以名垂千古，很滿意了，他幾乎每一篇文章都有這個水平，而且有開創的貢獻，他的工作是從古代到現代的過渡，他開創了一些學科，比如說黎曼曲面，黎曼希爾伯特對應和黎曼幾何，黎曼猜想，對現在的數學有巨大的影響，而且可能會繼續下去。

稍微談一點數學，一點點數學，基本上只要小學或者是初中的數學就夠了，所以大家不要緊張。

左邊是我自己拍的照片，拍的雪山的照片，攝影技術比較乏善可陳，這裡的目的呢，我的題目是內蘊地理解彎曲，我們看到一個雪山，彎曲嘛，這個東西很自然的一個觀感，曲曲折折，彎彎曲曲的。如果說你用數學的表達方式，或者是說語言想把這個東西表達出來，你可以怎麼樣？用座標系，我們座標系都學過，三維座標系，任何一個點都可以用三個數來表達，是吧？你就做成了一個所謂的三維地理信息系統。也就是我們俗稱的地圖，三維地圖。你可以把這個地圖投影做成二維的地理信息圖，就是平面地圖，從這個三維的，把這個圖像三維定位出來以後和座標之間的變換速度，就是所謂的斜率可以看出來這個圖形的彎曲程度，跟我們是相符的，我想我們普通人理解彎曲都是這麼理解的，沒有問題。但是從黎曼幾何的角度帶將怎麼樣理解這個問題，假設是這樣的情況，我們是一個球面，我們人類看一個球面可以理解彎曲是什麼東西，沒有問題。假設現在有一種二維生物，很悲慘，不像我們有三維的視野，可以從外面看委屈，他就是二維的動物，沒法在球面上跳出來看，我們看球面是彎曲的，他怎麼理解彎曲呢，這是黎曼幾何的核心想法。比如說我是身在其中的東西，我怎麼理解我所處的空間或者是宇宙的彎曲程度。

這個核心的想法，黎曼的想法是用距離這個觀點，這個概念，我們看右邊，初中都學過平面幾何，是吧，這是所謂的大圓，就是任何兩個點，A和B在圓心，三點構成一個平面，這個球就形成了一個大圓。球面上有一個很重要的性質，就是假設你有兩個點，A和B，你沿着球面走，從A點走到B點，最近的路徑是什麼呢？其實就是沿着大圓走，這是很容易知道的一個實施。所以假設這個螞蟻會測量，雖然我看不見，我不能從外面看見我的球是什麼樣的，但是我測量，我測量之後發現從A走到B，沿着大圓走最近，自然會想到，這個就叫做直線吧兩點之間直線最短，如果螞蟻像我們一樣思考，就定義爲直線。任何兩條直線就是兩個大圓，兩個大圓的話一定會相交，這個和我們人類經驗不一樣了，我們的想法是有兩條平行線永遠不相交，球面上的話二維生物理解我的世界裡任何兩條直線都會空間，原因在於空間是彎曲的，不是平坦的，是彎曲的。如果你有一個只生活在自己世界的二維動物，可以通過測量發現自己所處的空間是不是彎曲的，這是黎曼幾何的基本想法，我怎麼樣能夠內蘊的理解彎曲的概念。

後來的故事，大家都知道了，是一個，其實我們的命運比螞蟻強不了太多，我們生活的空間也是太多的。我們聰明，我們聰明在於我們真正能夠通過我們的物理學家的努力，我們認識到這種彎曲，但是我要說一下這個想法最終一開始從黎曼那裡來的，黎曼應該是第一個認爲我們生活的空間是四維的，是時空，是時間加說我們三維的空間，從這個角度去理解我們所處的宇宙最合適。

天才的物理學家愛因斯坦就提出了對論。愛因斯坦這個人，這個物理學家是非常有物理天賦的一個人，但是他數學不行。他在上大學的時候，經常逃數學課，後來數學不行，但是他有一個同學數學特別好，後來他想創建廣義相對論的時候，他有物理直覺，但是沒有合適的工具，恰好同學幫助他，有一個東西叫做黎曼幾何的東西特別適合你，有五六十年前已經做出來了，你用用看，他用了黎曼幾何表達了他的相對論。知道時空是四維的，質量存在肯定會導致空間的彎曲。怎麼理解這個彎曲呢？就是所謂的制憲會彎及什麼是直線呢？直線的話我們的想法是兩點之間距離最短的那條線叫直線，是吧？物理裡面光沿着最短的路徑走，光可以看到真實世界中的直線我們經過測量發現這個在質量的影響下發生了彎曲，所以我們真實的世界是一個四維的時空，我們通過測量這個光的彎曲程度我們知道我們真的生活在一個彎曲的空間裡。

這個是黎曼集合的基本思想。那麼我們談黎曼假設，這是一個關於數的問題，剛纔孫教授提到了，是關於數的問題，後面我們有一個龐大的，非常龐大的朗蘭茲綱領。對數學家來講非常深刻。如果我們從一個比較一般的角度理解黎曼假設的重要性，爲什麼重要？剛纔圖片出現了數學王子高斯，他可以稱之爲史上最聰明的數學家，我想大部分數學家都是沒有異議的，都會覺得他是最聰明的，田老師是不是也這麼認爲。

黎曼假設是關於素數的一個猜想，爲什麼叫做假設呢？因爲太重要了，一旦成立的話，對我們數學有很大的推動作用，很多東西就解決了，所以人們情願相信是對的。我認爲自然數在數學裡面有特殊的地位。這是我個人的小小看法。因爲我剛纔講了幾何，我不是說幾何不重要，但是幾何是一個我們和其他的生物都能夠分享的一種東西。用我們的視覺，我們從視覺產生幾何的想法和概念。那麼，生物，其他的生物也都有這種想法和視覺，有的視覺比我們還好。

那麼數這個東西，我聽到一種說法說高級物種對數的概念很差，比如說一隻猩猩，沒有經過訓練的話會數到三，或者是十，訓練的話會多一點，人類很有經驗，人類從什麼時候開始從一二三一直數下去，數到無窮，這是一個很有意思的問題，從原始數數不可能，某一個時間產生飛躍了，我們突然意識到這個數可以一直數下去，我認爲這個是對數關聯的飛躍，所以我認爲這個數這個東西是我們人類思維裡面獨有的一個這樣的東西。

爲了研究整數，我們有素數這個概念。就剛剛孫教授講的，素數實際上是一種不能夠被比較小的數整除的，其他的數是素數的乘積，這是最基本的東西，也是最重要的東西。但是我們對素數的分佈規律知道得非常少，是非常神秘的一個對象。如果你想知道這個，如果能夠搞清楚素數的秘密，你絕對會成爲，我不敢說怎麼怎麼樣？反正是最top的數學家。

那麼高斯呢？是第一個有史記載的第一個對素數的分佈規律提出一個猜想的人，提出了一個素數定律，這個告訴我們什麼，告訴了素數分佈規律大概是什麼樣子，是一個約等號。告訴你前一千個數裡面有168個質數，大概是六分之一，然後前一萬個數裡面有1229個質數，是八分之一，前十萬個數裡面有9592個，大概十分之一的質數，質數在數裡面的分佈越來越稀疏，我們很早以前就知道質數是無限的，但是分佈的稀疏程度我們如何控制，這是提出的素數定理，我們可以用X來除掉這個自然對數，我們中學都應該學過自然對數裡面的對數，是吧？所以說這個比例就應該是logX分之1這樣的比例，隨着X的不斷的增大，比例越來越低，這是一個很粗糙的，從黎曼假設角度來講比較粗糙的，後面會講到這件事。單引號第一個關於素數分佈規律的猜想，高斯通過手來計算，計算以後猜想這個，很厲害，因爲那個時候沒有計算機。

什麼是黎曼假設？剛纔孫教授已經寫下來了黎曼的方程這麼一個東西，這個基數求和，這個+1，假下去很難理解，這是一個神秘的函數，之所以神秘呢，你可以取值，發現像π，到246的時候和π有關，到負2，負4，負6的時候這是等於0，這是最大函數的頻繁臨界，這是一個函數，對這些數可以取值。黎曼假設告訴你們什麼呢？告訴你這個函數的非平反零點的虛部二分之一，這個是負數的概念，這個最大的函數可以定位在整個負平面上，可以考慮這個負數的取值，這個零點是什麼樣子的。所謂的非平反零點就是負2，負4，負6這些東西，這是一個很神秘的猜測，我也沒有辦法給大家解釋爲什麼這個東西這麼猜，有很深刻的數學原因。

左邊是黎曼1959年的手稿，可以看裡面塗塗抹抹，寫得非常亂，所以數學家得的東西是得來不易的，那個時候是需要紙和筆就可以了，今天我們有的時候需要計算機算一下。然後，在右邊，那個紅點，負2那個地方，是一個頻繁的0點，後面還有負4，這都是頻繁的0點，不是我們考慮的東西，猜測其他的0點在那條虛線上，就是二分之一這條線上。

現在我們能做什麼事情呢？就是說在白色的區域裡面，零點在這樣一個白色區裡面，這個圖不是特別的精確，所以你看這個白色的區域，到這個中間的這條虛線差得很遠很遠，我們對這件事的理解還非常的原始，非常粗糙，距離真正理解這件事還很遠，然後之前講了一個素數定理，和黎曼假設什麼關係呢？一旦你知道黎曼假設就知道對素數定理有更精確的瞭解。怎麼證明，最右邊這條線是整個圖形右邊那條邊，這個事情我們知道，也可以看到證明那個邊上沒有零點，和證明所有零點在虛線上的差別有多大，是不是？所以現在我們對一個非常弱得多得多的這麼一個結論有這樣一個證明，而且挪威數學家也給出了這樣一個證明，所謂的初等證明，還拿了菲爾茲獎，所以你看到了，如果給出這樣一個證明。你馬上會，我想肯定會未來大獎是你的，沒有問題。如果你40歲以下，菲爾茲獎也是你的，沒有問題。還有千禧年大獎，也是一百萬美金，我覺得我們未來大獎更有優勢。因爲我們的稅少一點。

那麼我剛剛說了黎曼幾何這個東西，其實對我們理解物理和現實很有幫助，而且最近和大數據，人工智能好像也扯上了關係，我不是專家，我不懂，我只是看自媒體的文章。如果要問黎曼假設，這兩個是黎曼提出來的，看他很厲害，最幾何的東西上，純粹的數字上都有很深的。這個黎曼假設怎麼用，是不是像物理學那樣有重要的作用，對我們有什麼實際的用處，人們經常問數學有什麼實際的作用。黎曼假設到底有沒有實際的作用，像物理世界那麼實際。我目前只能說我知道最實際的作用就是我講的，你能拿到一百萬的美金，這是最實際的作用。我是開個玩笑，我認爲黎曼假設是人類智力的一個標杆，我覺得他是人類，我們的智力能達到什麼層次的一個標杆。這也是我們在芸芸衆生中人類可以脫穎而出這麼一個數學吧，我們人類能夠在芸芸衆生之間脫穎而出的一個最重要的指標。所以我也期待着，現在有大概一百六七十年這樣一個歷史。我們還完全不知道該怎麼樣解決它，我覺得現在完全沒有，覺得可能會被解決這樣一個跡象。所以有很長的時間，我們要去思考這個難題。但是我覺得我們應該去努力想這樣的問題，而不是緊緊圍繞着這個問題，就講這些。